欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质:由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点现有一椭圆,长轴长为,从一个焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知为该椭圆的左顶点,若斜率为且不经过点的直线与椭圆交于,两点,记直线,的斜率分别为,且满足.
①证明:直线过定点;
②若,求的值.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知为该椭圆的左顶点,若斜率为且不经过点的直线与椭圆交于,两点,记直线,的斜率分别为,且满足.
①证明:直线过定点;
②若,求的值.
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(已下线)重难点突破19 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质、三点共线问题(六大题型)-1天津市第一中学2023届高三下学期第五次月考数学试题(已下线)专题43 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题-2(已下线)专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用 微点1 椭圆的光学性质及其应用(已下线)专题25 欧几里得吉林省通化市辉南县第一中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题
更新时间:2021-12-19 18:44:08
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】已知椭圆的焦距为2,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为的左焦点,点为直线上任意一点,过点作的垂线交于两点,
①证明:平分线段(其中为坐标原点);
②当取最小值时,求点的坐标.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为的左焦点,点为直线上任意一点,过点作的垂线交于两点,
①证明:平分线段(其中为坐标原点);
②当取最小值时,求点的坐标.
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【推荐2】已知①如图,长为,宽为的矩形,以、为焦点的椭圆恰好过两点
②设圆的圆心为,直线过点,且与轴不重合,直线交圆于两点,过点作的平行线交于,判断点的轨迹是否椭圆
(1)在①②两个条件中任选一个条件,求椭圆的标准方程;
(2)根据(1)所得椭圆的标准方程,若圆的切线与椭圆相交于、两点,线段的中点为,求的最大值.
②设圆的圆心为,直线过点,且与轴不重合,直线交圆于两点,过点作的平行线交于,判断点的轨迹是否椭圆
(1)在①②两个条件中任选一个条件,求椭圆的标准方程;
(2)根据(1)所得椭圆的标准方程,若圆的切线与椭圆相交于、两点,线段的中点为,求的最大值.
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】已知椭圆C:上、下顶点分别为,且短轴长为,T为椭圆上(除外)任意一点,直线的斜率之积为,,分别为左、右焦点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜,它的外形像一口“大锅”,可以接收到百亿光年外的电磁信号.在“天眼”的建设中,用到了大量的圆锥曲线的光学性质,请以上面的椭圆C为代表,证明:由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射,反射光线必经过另一焦点.(提示:光线射到曲线上某点并反射时,法线垂直于该点处的切线)
(1)求椭圆C的方程.
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜,它的外形像一口“大锅”,可以接收到百亿光年外的电磁信号.在“天眼”的建设中,用到了大量的圆锥曲线的光学性质,请以上面的椭圆C为代表,证明:由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射,反射光线必经过另一焦点.(提示:光线射到曲线上某点并反射时,法线垂直于该点处的切线)
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象:现象(1):光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等(如图);现象(2);光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点(如图).试结合,上述事实现象完成下列问题:
(Ⅰ)有一椭圆型台球桌,长轴长为2a,短轴长为2b.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射(假设球的反射充全符合现象(2)),后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S,求S的值(用a,b表示);
(Ⅱ)结论:椭圆上任点P(x0,y0)处的切线的方程为.记椭圆C的方程为C:,在直线x=4上任一点M向椭圆C引切线,切点分别为A,B.求证:直线lAB恒过定点:
(Ⅲ)过点T(1,0)的直线l(直线l斜率不为0)与椭圆C:交于P、Q两点,是否存在定点S(s,0),使得直线SP与SQ斜率之积为定值,若存在求出S坐标;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)有一椭圆型台球桌,长轴长为2a,短轴长为2b.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射(假设球的反射充全符合现象(2)),后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S,求S的值(用a,b表示);
(Ⅱ)结论:椭圆上任点P(x0,y0)处的切线的方程为.记椭圆C的方程为C:,在直线x=4上任一点M向椭圆C引切线,切点分别为A,B.求证:直线lAB恒过定点:
(Ⅲ)过点T(1,0)的直线l(直线l斜率不为0)与椭圆C:交于P、Q两点,是否存在定点S(s,0),使得直线SP与SQ斜率之积为定值,若存在求出S坐标;若不存在,请说明理由.
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【推荐3】阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象:现象(1)光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等(如图);现象(2)光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点(如图).试结合,上述事实现象完成下列问题:
(1)有一椭圆型台球桌,长轴长为,短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射(假设球的反射完全符合现象(2)),后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为,求的值;
(2)过点的直线(直线斜率不为)与焦点在轴,且长轴长为,短轴长为的椭圆交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在求出坐标;若不存在,请说明理由;
(3)结论:椭图上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向(2)中的椭圆引切线,切点分别为,.求证:直线恒过定点.
(1)有一椭圆型台球桌,长轴长为,短轴长为.将一放置于焦点处的桌球击出.经过球桌边缘的反射(假设球的反射完全符合现象(2)),后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为,求的值;
(2)过点的直线(直线斜率不为)与焦点在轴,且长轴长为,短轴长为的椭圆交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在求出坐标;若不存在,请说明理由;
(3)结论:椭图上任点处的切线的方程为.在直线上任一点向(2)中的椭圆引切线,切点分别为,.求证:直线恒过定点.
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【推荐1】已知椭圆经过点,且焦距为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为、,点为椭圆上异于、的动点,设交直线于点,连接交椭圆于点,直线的斜率分别为.
①求证:为定值;
②证明:直线经过轴上的定点,并求出该定点的坐标.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为、,点为椭圆上异于、的动点,设交直线于点,连接交椭圆于点,直线的斜率分别为.
①求证:为定值;
②证明:直线经过轴上的定点,并求出该定点的坐标.
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较难
(0.4)
【推荐2】已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点,且,试探究直线是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,请说明理由.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点,且,试探究直线是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,请说明理由.
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