【推荐1】已知椭圆：的右顶点为，离心率为，点在椭圆上，点与点关于原点对称.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求经过点，且和轴相切的圆的方程；
（3）若，是椭圆上异于，的两个点，且，点在直线的上方，试判断的平分线是否经过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

【推荐2】如图所示，已知椭圆 过点，离心率为，左、右焦点分别为、，点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线、的斜线分别为、.
（i）证明：；
（ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，记的斜率分别为，且．
①求P点轨迹方程；
②求证：的面积为定值．
（参考公式：过椭圆上一点的切线方程为）

【推荐1】已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P作两条互相垂直的弦PA，PB分别与椭圆C交于A，B.
（i）证明直线AB过定点；
（ii）求点P到直线AB距离的最大值.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为6.
(1)求椭圆的方程；
(2)为第一象限内椭圆上一点，直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为，若，求的坐标.

【推荐1】在椭圆C：，，过点与的直线的斜率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当取最大值时，求直线MN的方程．

【推荐2】椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．
（1）当直线的斜率为时，求线段的长度；
（2）当点恰好为线段的中点时，求的方程．

【推荐3】已知椭圆E：的焦距为2，一条准线方程为x=，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；
（3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．
   

【推荐1】已知椭圆 的离心率为， 椭圆 的上顶点为A， 右顶点为 ， 点 为坐标原点， 的面积为 2 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 且不过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 直线 与直线 交于点 ， 试判断直线 的斜率是否为定值？ 若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由．

【推荐2】已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求证：．

【推荐3】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，点在L上．
（1）求L的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．