【推荐1】椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点．M是椭圆上任意一点，且．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的斜率为的直线交椭圆于两点．求的面积．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，右焦点，是椭圆上关于轴对称的两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知，若与相交于点，证明：点在椭圆上.

【推荐3】已知椭圆：的短轴长为，且过三点，，中的两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，（，不在轴上）两点，为椭圆的左顶点，记，的斜率分别为，，证明：为定值.

【推荐1】已知双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设过F₂且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段OF₂上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．

【推荐2】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，设点是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围；
（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由；

【推荐3】已知直线经过椭圆()左顶点和上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线上存在一点，使得三角形为正三角形，求所在直线的方程.