【推荐1】已知椭圆的离心率为，且过点，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线上的动点（不在x轴上），与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，记直线与的斜率分别为，．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）证明：直线过一个定点，并求出此定点的坐标．

【推荐2】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，P为椭圆C上的一个动点.当P是C的上顶点时，△的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设斜率存在的直线与C的另一个交点为Q，是否存在点，使得?若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由.

【推荐3】设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，椭圆右焦点也为，离心率为．
(1)求抛物线方程和椭圆方程；
(2)若不经过的直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值．

【推荐1】已知椭圆C：的离心率为，直线交椭圆C于A、B两点，椭圆C的右顶点为P，且满足.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与椭圆C交于不同的两点、，线段MN的中点为，且定点，满足，求实数m的取值范围.

【推荐2】定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C₁：＋y²＝1，椭圆C₂与C₁是“相似椭圆”，且椭圆C₂的短半轴长为b.
（1）写出椭圆C₂的方程；
（2）若在椭圆C₂上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围.

【推荐3】设椭圆过点，右焦点为，设直线分别交轴、轴于C、D两点，且与椭圆交于M、N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若，求值，并求出弦长|MN|；
(3)若线段MN的垂直平分线与轴相交于点，求实数的取值范围．

【推荐1】已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足.
(1)求椭圆方程；
(2)设为椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值.

【推荐2】已知椭圆的左右顶点分别为，椭圆上不同于的任意一点，直线和的斜率之积为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆内一点，作一条不垂直于轴的直线交椭圆于两点，点和点关于轴对称，直线交轴于点，证明：为定值．

【推荐3】已知椭圆：过三点，，中的两点，且短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上､下顶点分别为､点，是椭圆上异于､的任意一点，直线交直线于点，连接，，记，的斜率分别为，，证明：为定值.