【推荐1】已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分记为，区域中动点到的距离之积为1.

（1）求点的轨迹的方程；
（2）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求证：的面积恒为定值.

【推荐1】如图，已知双曲线C的方程为，渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．M、N两动点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P是直线MN与双曲线右支的一个公共点， ．

(1)求双曲线C的方程；
(2)当λ＝1时，求的取值范围；
(3)试用λ表示MON的面积S，设双曲线C上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若∈，求S的取值范围．

【推荐2】已知双曲线的左右焦点分别为，，焦距为4，且其渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于M，N两点，点关于轴对称的点为，若的面积为，求直线的方程.

【推荐3】已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．