【推荐1】已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线与双曲线C相交于A、B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，求实数k值.

【推荐2】求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程.

【推荐3】已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中，且.
(1)求点C的轨迹方程；
(2)设点C的轨迹与双曲线，（a>0）交于两点M，N，且OMON，求该双曲线的方程.

【推荐1】已知离心率为2的双曲线的左右顶点分别为，，顶点到渐近线的距离为.过双曲线右焦点的直线与双曲线交于，（异于点，）两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记，，的面积分别为，，，当时，求直线的方程；
(3)若直线，分别与直线交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【推荐2】已知双曲线截直线所得的弦的长为．
(1)求的值；
(2)若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标．

【推荐3】已知双曲线，其左、右焦点分别为、，上有一点P满足，．
(1)求b；
(2)过作直线l交于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH的夹角为时，求的取值范围．

【推荐1】如图，椭圆的左、右顶点分别为A、B，双曲线以A、B为顶点，焦距为，点P是上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为为坐标原点.

(1)求双曲线的方程；
(2)求点M的纵坐标的取值范围；
(3)是否存在定直线使得直线BP与直线OM关于直线对称？若存在，求直线的方程；若不存在,请说明理由.

【推荐2】已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.