【推荐1】已知椭圆的顶点坐标分别为、，且对于椭圆上任意一点（异于、），直线与直线斜率之积为.

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点是该椭圆内一点，四边形的对角线与交于点,设直线,记, 求的最大值.

【推荐2】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆位于轴左侧部分上的任意一点，过点分别作抛物线的两条切线，切点分别为，求三角形的面积的取值范围.

【推荐3】已知椭圆：()的离心率，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同的交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，求证：中点为定点．

【推荐2】已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：必过定点，并求出该定点的坐标．

【推荐3】“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．

步骤1：设圆心为E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为6的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸．
(1)以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C的标准方程；
(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点，使得直线TM，TN的斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆，椭圆，椭圆与有相同的离心率且椭圆的短轴长为4.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图所示，过原点作直线交椭圆于点，交椭圆于点(，位于点的异侧)，过点作椭圆的切线交椭圆于两点.
（i）求；
（ii）设的面积为，试判断的面积是否为定值，若是定值求出该定值，若不是，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆C：的离心率，且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN的斜率为定值.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，其中为椭圆E的离心率．
(1)求b的值；
(2)A，B分别为椭圆E的左右顶点，过点的直线l与椭圆E相交于M，N两点，直线与交于点T，求证：．