【推荐1】已知椭圆：（）和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为（）的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）.当时，弦的长为.

（1）求圆与椭圆的方程；
（2）若依次成等差数列，求直线的方程.

【推荐2】已知，．
（1）若直线L与⊙C₁相切，且截⊙C₂的弦长等于，求直线L的方程．
（2）动圆M与⊙C₁外切，与⊙C₂内切，求动圆M的圆心M轨迹方程．

【推荐3】给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
(1)求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
(2)若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的“伴随圆”相交于两点，求弦的长；
(3)在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作两条直线，使得与椭圆都只有一个公共点，且分别与椭圆的“伴随圆”交于两点.证明：直线过原点.

【推荐2】对于曲线，若存在非负实数和，使得曲线上任意一点，恒成立(其中为坐标原点)，则称曲线为有界曲线，且称的最小值为曲线的外确界，的最大值为曲线的内确界．
（1）写出曲线的外确界与内确界；
（2）曲线与曲线是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（3）已知曲线上任意一点到定点的距离之积为常数，求曲线的外确界与内确界．

【推荐3】如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点，且满足，以为坐标的动点的轨迹记为曲线．

（1）求圆的方程及曲线的方程；
（2）若两条直线和分别交曲线于点和，求四边形面积的最大值，并求此时的的值．
（3）根据曲线的方程，研究曲线的对称性，并证明曲线为椭圆．

【推荐1】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点且离心率，过点作直线与椭圆交于、两点.

（1）求椭圆的方程；
（2）求证：；
（3）求的最大值.

【推荐2】已知椭圆左顶点为，离心率为，且过点.

（1）求的方程；
（2）过抛物线上一点P的切线交于两点，线段，的中点分别为.求证：对任意，都存在这样的点P，使得所在直线平行于轴.

【推荐3】设椭圆：的右焦点为，右顶点为，已知椭圆离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线斜率的取值范围.

【推荐2】过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，直线交椭圆于，两点.
（1）设直线的斜率为，求的值；
（2）若，分别在直线的两侧，，求的面积.

【推荐3】已知是椭圆上的一点，为椭圆的左､右焦点，为其短轴的两个端点，是与的等差中项.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于点，与圆切于点，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.