【推荐1】已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，且椭圆上存在点与点关于直线对称．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若直线与椭圆只有一个公共点，点，是轴上关于原点对称的两点，且点，在直线上的射影分别为，，判断是否存在点，，使得为定值，若存在，求出，的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线共焦点，且点在椭圆上.   
（1）求椭圆的方程；
（2）过定点作一条动直线与椭圆相交于为坐标原点，求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.

【推荐3】已知椭圆：的一个焦点为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，，，点M是椭圆C上一点，且M不在坐标轴上.若直线与直线交于点，直线与直线交于点.试判断的形状，并说明理由.

【推荐1】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，左顶点为A，上顶点为B，离心率为，的面积为．
求椭圆C的标准方程；
过的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，求内切圆半径的最大值．

【推荐2】已知椭圆的一个顶点为，离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，动直线交椭圆于，两点，满足，过点作，垂足为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断直线是否过定点，如果是，则求出此定点的坐标，如果不是，则说明理由；
(3)写出面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形面积为．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线交椭圆于，，且，求证为定值．

【推荐1】已知点在椭圆上，直线的斜率之积是，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于点，且，求的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，是C的上、下顶点，且．过点的直线l交C于B，D两点（异于），直线与交于点Q．
(1)求C的方程；
(2)证明，点Q的纵坐标为定值．

【推荐3】欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有椭圆，长轴长为4，从椭圆的一个焦点发出的一条光线经该椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，A为椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点A的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且满足，且，求的值.