【推荐1】在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③MN的方程为.
(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线的标准方程；
(2)设直线与相交于A，B两点，线段AB的中点为，且与相切于点，与直线交于点，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线.

【推荐2】已知抛物线的焦点为，若在轴上方该抛物线上有一点，满足直线的倾斜角为，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线上另有两点满足，求直线方程.

【推荐3】已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A、B，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.

【推荐1】已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.

(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
(2)若恰好被平分，求面积的最大值

【推荐2】如图，已知抛物线的焦点为，为轴上位于右侧的点，点为抛物线在第一象限上的一点，且，分别延长线段、交抛物线于、.

（1）若，求直线的斜率；
（2）求三角形面积的最小值.

【推荐3】已知抛物线，抛物线，点P是抛物线与抛物线在第一象限的交点．过点P的直线l交抛物线于点A，交抛物线于点B（A，B不同于P）．
(1)若，求点P的坐标；
(2)若P是线段的AB中点，直线l与x轴交于点Q，求的最小值．

【推荐1】已知抛物线焦点为F，点在抛物线上，.
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F直线l与抛物线交于MN两点，若MN最小值为4，且是钝角，求直线斜率范围.

【推荐2】已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．
（1）求的取值范围；
（2）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（3）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．

【推荐1】从抛物线上任意一点向轴作垂线段垂足为，点是线段上的一点，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线与轨迹交于两点，点为轨迹上异于的任意一点，直线分别与直线交于两点.问：轴正半轴上是否存在定点使得以为直径的圆过该定点？若存在，求出符合条件的定点坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】过点的直线与抛物线交于P、Q两点.
（1）求线段PQ的中点B的轨迹方程；
（2）抛物线C的焦点为F，若，求直线l的斜率的取值范围.

【推荐3】如图，已知抛物线和点，过点作直线分别交于，两点，为线段的中点，为抛物线上的一个动点.

（1）当时，过点作直线交于另一点，为线段的中点，设，的纵坐标分别为，.求的最小值；
（2）证明：存在的值，使得恒成立.