【推荐1】已知是坐标原点，椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若的面积最大时.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆在第一象限交于点，点是第四象限的点且在椭圆上，线段被直线垂直平分，直线与椭圆交于另一点，求证：.

【推荐2】已知椭圆的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点.
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）直线l：与椭圆M相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆C：的两个焦点是，，点在椭圆C上，且右焦点．O为坐标原点，直线l与直线OM平行，且与椭圆交于A，B两点．连接MA、MB与x轴交于点D，E．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：．

【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，为直径的圆过椭圆的上顶点，直线与圆相交得到的弦长为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点为．

(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积不大于四边形的面积，求的最小值．

【推荐2】已知抛物线：（）的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为，椭圆：（）的离心率为，且过抛物线的焦点.

(1)求抛物线和椭圆的方程；
(2)过定点引直线交抛物线于、两点（在的左侧），分别过、作抛物线的切线，，且与椭圆相交于、两点，记此时两切线，的交点为.
①求点的轨迹方程；
②设点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标.

【推荐3】如图所示，椭圆的离心率为，过点作直线交椭圆于不同两点，．

（1）求椭圆的方程；
（2）①设直线的斜率为，求出与直线平行且与椭圆相切的直线方程（用表示）；
②若，为椭圆上的动点，求四边形面积的最大值．

【推荐1】已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．

(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线与的斜率的乘积为定值；
(3)求线段的长度的最小值

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，是椭圆上一点．
（1）求椭圆方程的离心率
（2）若为椭圆上异于顶点的任意一点，，分别为椭圆的右顶点和上顶点．直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．

【推荐3】定义：过椭圆上的一点（不与长轴的端点重合）与椭圆的两个焦点确定的三角形称为椭圆的焦点三角形；已知过椭圆上一点P（不与长轴的端点重合）的焦点三角形，且．

（1）求证：焦点三角形的面积为定值；
（2）已知椭圆的一个焦点三角形为，；
①若，求点的横坐标的范围；
②若，过点的直线与轴交于点，且，记，求的值．