【推荐1】已知圆，直线.
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)若圆与直线相交于点和点，求弦的中点的轨迹方程.

【推荐2】已知直线，.
(1)若直线，分别经过定点，，求定点，的坐标;
(2)是否存在一个定点，使得与的交点到定点的距离为定值?如果存在，求出定点的坐标及定值;如果不存在，说明理由.

【推荐3】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点距离之比为（且）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.
(1)已知两定点，，若动点满足，求点的轨迹方程；
(2)已知，是圆上任意一点，在平面上是否存在点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

【推荐1】已知圆,为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为．
（1）若点运动到处，求此时切线的方程；
（2）求满足条件的点的轨迹方程．

【推荐2】已知在中，，当m为何值时，的面积S最大？

【推荐3】我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段的中点．

(1)若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)设P是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，P在点或处；
(3)若P是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点P的横坐标．

【推荐1】已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线与椭圆C交于M，N两点，点，求证：.

【推荐2】设直线：与椭圆C：相交于、两个不同点.
（1）若直线恰好经过椭圆C的上顶点和右焦点，求椭圆C的离心率e；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，且（为坐标原点），求椭圆C的方程.

【推荐3】已知椭圆经过点，且两个焦点，的坐标依次为和．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设E，F是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，直线OE的斜率为，直线OF的斜率为，若，证明：直线EF与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．