【推荐1】已知点，，动点满足，记M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过坐标原点O的直线l交C于P、Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为H．连结QH并延长交C于点R．
（i）设O到直线QH的距离为d．求d的取值范围;
（ii）求面积的最大值及此时直线l的方程．

【推荐2】已知圆M过点，且与直线相切．
(1)求圆心M的轨迹的方程；
(2)过点的直线交抛物线于A，B两点，过点和A的直线与抛物线交于另一点C，证明：直线CB过定点．

【推荐3】设、为坐标平面上的点，直线（为坐标原点）与抛物线交于点(异于).
（1） 若对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上，并求出该圆方程；
（2） 若点在椭圆上，试问：点能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；
（3） 对（1）中点所在圆方程，设、是圆上两点，且满足，试问：是否存在一个定圆，使直线恒与圆相切.

【推荐1】已知点T是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交线段于点S，记点S的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过作曲线C的两条弦，，这两条弦的中点分别为P，Q，若，求面积的最大值.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知定点，若动点的坐标满足方程.
(1)试说明动点的轨迹是什么曲线，并求出该曲线的标准方程；
(2)设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两点，记的面积为，求的最大值.

【推荐3】在平面直角坐标系中，双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆 的左、右焦点分别为、，为椭圆的右顶点，，分别为椭圆的上、下顶点.线段的延长线与线段交于点，与椭圆交于点.
(1)若椭圆的离心率为，的面积为12，求椭圆的方程；
(2)设 ，求实数的最小值.

【推荐2】已知△ABC的两个顶点坐标是，，△ABC的周长为，是坐标原点，点满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若互相平行的两条直线，分别过定点和，且直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，若四边形的面积为，求直线的方程.

【推荐3】已知圆，与x轴不重合的直线l过点，且与圆交于C、D两点，过点作的平行线交线段于点M．

(1)判断与圆的半径的大小关系，求点M的轨迹E的方程；
(2)已知点，直线m过点，与曲线E交于两点N、R（点N、R位于直线异侧），求四边形的面积的取值范围．

【推荐1】椭圆的上顶点为，点在椭圆上，，分别为的左右焦点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）点M在圆上，且M在第一象限，过M作的切线交椭圆于，两点，且，，不共线，问：的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.

【推荐2】已知，平面内一动点满足．
(1)求点运动轨迹的轨迹方程；
(2)已知直线与曲线交于，两点，当点坐标为时，恒成立，试探究直线的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．