【推荐1】在①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中．若问题中的存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
设等差数列的前项和为，是各项均为正数的等比数列，设前项和为，若          ，          ，且．是否存在大于2的正整数，使得成等比数列？
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

【推荐2】已知数列满足，．
(1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前项和，并证明．

【推荐3】设数列满足：．设为数列的前n项和，已知，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）证明：对任意且，有．

【推荐1】某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，）
(1)试求的表达式；
(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.

【推荐2】已知数列的奇数项是首项为的等差数列，偶数项是首项为的等比数列．数列前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求正整数的值；
（3）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由．

【推荐3】在①，，②这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．

(1)已知数列的前n项和为，______，求的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和．

【推荐1】（本小题满分12分）
已知数列中，，. 且对，有.
设，求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
求数列的前项和.

【推荐2】已知等差数列的前项和为，且满足，数列满足．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)已知数列满足求数列的前项和．

【推荐3】已知数列的前项和为，，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求；
（3）对任意将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.