如图，在平面几何中，有如下命题“正三角形
的高为
，O是
内任意一点， O到三边的距离分别为
，则
为定值；当O是的中心时，O到各边的距离均为
”．
证明如下：设正三角形边长为a，高h，O到三边的距离分别
，
则：
，即：
，
化简得，
，
（定值）．
若O是中心，则
，即：正三角形中心到各边的距离均为．
类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体
（下图）相应的命题，并证明你的结论．
的高为，O是内任意一点， O到三边的距离分别为，则为定值；当O是的中心时，O到各边的距离均为”．证明如下：设正三角形
边长为a，高h，O到三边的距离分别，则：
，即：，化简得，
，（定值）．若O是
中心，则，即：正三角形中心到各边的距离均为． 类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体
（下图）相应的命题，并证明你的结论．
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（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题六 空间定值问题 微点3 立体几何中的定比问题【培优版】
更新时间：2024-03-19 13:09:35
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解题方法
【推荐1】如图，
，
是圆锥底面圆
的两条互相垂直的直径，过的平面与
交于点
，若
，点
在圆上，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，求三棱锥
的体积.
，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若，点在圆上，. (1)求证：
平面；(2)若
，，求三棱锥的体积.
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【推荐2】如图，在四棱锥
中，平面
平面，
，
，
，
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求四面体
的体积.
中，平面平面，，，，，，.(1)求证：
平面；(2)求四面体
的体积.
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，平面
平面
，
，
上一点.
平面
；
是正三角形，且
的体积.
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名校
解题方法
【推荐1】如图，正三棱柱
中
为
的中点．
(1)求证：
；
(2)若点
为四边形
内部及其边界上的点，且三棱锥
的体积为三棱柱体积的
，试在图中画出点的轨迹，并说明理由．
中为的中点．(1)求证：
；(2)若点
为四边形内部及其边界上的点，且三棱锥的体积为三棱柱体积的，试在图中画出点的轨迹，并说明理由．
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解答题-证明题
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名校
解题方法
【推荐2】在直三棱柱中，
，
，
.
(1)求证：
；
(2)求点
到平面
的距离.
中，，，.(1)求证：
；(2)求点
到平面的距离.
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，
，
的中点，M是棱
，
，三棱锥
的体积为
，求
的值．
解答题-问答题
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解题方法
【推荐1】先解答（1），再通过类比解答（2）：
（1）已知正三角形的边长为
,求它的内切圆的半径
；
（2）已知正四面体的棱长为,求它的内切球的半径.
（1）已知正三角形的边长为
,求它的内切圆的半径；（2）已知正四面体的棱长为
,求它的内切球的半径.
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解答题
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【推荐2】已知：由图①得面积关系：
．
（1）试用类比的思想写出由图②所得的体积关系
；
（2）证明你的结论是正确的．
．
（1）试用类比的思想写出由图②所得的体积关系
；（2）证明你的结论是正确的．
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、
、
分别是
、
、
，可以得到结论
.通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.
