【推荐1】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，该椭圆的左顶点A到直线的距离为.
求椭圆C的标准方程；
若线段MN平行于y轴，满足，动点P在直线上，满足证明：过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F.

【推荐2】已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点．当垂直于长轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，右焦点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为（点，在点，之间）．若与面积相等，求直线的方程．

【推荐1】已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程．
(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值．
(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，.
（1）求双曲线的方程.
（2）设为双曲线上一点，点，在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若恰为线段的中点，试判断的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.

【推荐3】双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于两点，且是直角三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知是上不同的两点，中点的横坐标为2，且的中垂线为直线，是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆C：的离心率为，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线为椭圆C在点P处的切线，，且直线与椭圆C交于A，B两点．
（ⅰ）求直线的方程；
（ⅱ）点O为坐标原点，当和面积之和取最大值时，求直线的方程．

【推荐2】椭圆：的离心率为，焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上的动点，过原点作圆：的两条斜率存在的切线分别与椭圆交丁点，，求的最大值.

【推荐3】已知椭圆过和两点．
   
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线AM，BM分别交椭圆于两点P和Q，求四边形面积的最大值．