【推荐1】已知椭圆经过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过右焦点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点.求四边形的面积的最小值.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为4，且经过点，其中为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，直线过的右焦点，且交于两点，若直线与交于点，求证：点在定直线上．

【推荐3】已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，求直线的方程；
（3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率之和为，试问：直线是否过定点？如过定点，求出定点坐标；如不过定点，说明理由.

【推荐1】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．
(1)求椭圆C的标准方程，
(2)若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问，在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为定值?若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线与椭圆交于A，B两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值.

【推荐3】已知中心在坐标原点的椭圆分别为椭圆的左.右焦点，长轴长为，离心率为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点在椭圆上，且，求点到右准线的距离．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的短轴一端点与左右焦点构成等腰直角三角形，右顶点为，直线过原点，且点在轴上方，直线与分别交直线：于点、．

(1)若点，求椭圆的方程；
(2)若点为动点，设直线与的斜率分别为，．
①试探究：是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；
②求的面积的最小时，，的值．

【推荐2】已知椭圆C过点，两个焦点．
求椭圆C的标准方程；
设直线l交椭圆C于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求面积的最大值．

【推荐3】如图，设是椭圆的左焦点，直线为其左准线，直线与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且．


（1）求椭圆C的标准方程；       
（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM=∠BFN；
（3）（理）求三角形ABF面积的最大值．