【推荐1】已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得.
(1)若，，求；
(2)若，求证：数列中有无穷多项为0；
(3)若，求数列的通项公式.

【推荐2】设正整数数列满足.
(1)若，请写出所有可能的的取值；
(2)求证：中一定有一项的值为1或3；
(3)若正整数m满足当时，中存在一项值为1，则称m为“归一数”，是否存在正整数m，使得m与都不是“归一数”？若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前n项和，．
若，求的值；
若是公比为的等比数列，求证：数列为等比数列；
若的各项都不为零，是公差为d的等差数列，求证：，，，，成等差数列的充要条件是．

【推荐2】设各项均为正数的数列的前项和为，且，（，），数列满足（）.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，
均有；
（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和.

【推荐3】已知正项数列满足：．
（Ⅰ）求的值，并证明：；
（Ⅱ）设，证明：；
（Ⅲ）设数列的前项和为，证明：当时，．

【推荐2】如果存在常数k使得无穷数列满足恒成立，则称为数列.
（1）若数列是数列，，，求；
（2）若等差数列是数列，求数列的通项公式；
（3）是否存在数列，使得，，，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知各项为正的数列满足：， （）.
(1)求；
(2)证明： （）；
(3)记数列的前项和为，求证：.

【推荐2】对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意,都有.成立,那么,就把这样的一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,简称周期:例如:当时,是周期为1的周期数列:当时,是周期为4的周期数列.
(1)设数列满足(不同时为0),求证:数列是周期数列,并求数列前2020项和;
(2)设数列前项和为,且;
①若,试判断是否为周期数列,并说明理由;
②若,试判断是否为周期数列,并说明理由;
(3)设数列满足,数列前项和为,试问是否存在,使对任意,都有成立,若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由.