某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，……，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：每张彩票只能中奖一次（按照最高奖励算）若3个数的积为2的倍数且不为3的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，又为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖．
(1)在一张彩票中奖的前提下，求这张彩票是一等奖的概率；
(2)假设每张彩票售价为
元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为2元，3元，10元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求
的最小值．
(1)在一张彩票中奖的前提下，求这张彩票是一等奖的概率；
(2)假设每张彩票售价为
元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为2元，3元，10元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求的最小值．
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更新时间：2024-06-01 18:35:18
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【推荐1】（1）将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子.把球全部放入盒内，共有多少种放法？
（2）将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有1个盒子的编号与放入小球的编号相同，有多少种不同的放法？
（3）将11个相同的小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中.若要求每个盒至少放一个小球，有多少种不同的放法？
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】男运动员
名，女运动员
名，其中男女队长各
人，从中选
人外出比赛，分别求出下列情形有多少种选派方法？（以数字作答）
男
名，女
名；
队长至少有人参加；
至少名女运动员；
既要有队长，又要有女运动员.
名，女运动员名，其中男女队长各人，从中选人外出比赛，分别求出下列情形有多少种选派方法？（以数字作答）男名，女名；队长至少有人参加；至少名女运动员；既要有队长，又要有女运动员.
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名校
解题方法
【推荐1】某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动.
（1）设所选3人中女生人数为
，求的分布列；
（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（3）设“男生甲被选中”为事件
，“女生乙被选中”为事件
，求
和
.
（1）设所选3人中女生人数为
，求的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（3）设“男生甲被选中”为事件
，“女生乙被选中”为事件，求和.
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐2】抛掷红、蓝两个骰子，设
蓝色骰子的点数为1或2，
两骰子的点数之和小于5，求
与
．
蓝色骰子的点数为1或2，两骰子的点数之和小于5，求与．
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(0.65)
【推荐3】据第19届亚运会组委会消息，杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日举行，为此，某校开展了青少年亚运会知识问答竞赛，有400名学生参赛，竞赛成绩所得分数的分组区间为
，由此得到如下的频数统计表：
(1)若某学生得分不低于80分则认为他亚运会知识掌握良好，若某学生得分低于80分则认为他亚运会知识掌握一般，那么是否有95%的把握认为该校学生对亚运会知识的掌握情况与性别有关？
(2)利用对不同分数段进行分层抽样的方式从参赛学生中随机抽取20名学生作进一步调研.
（i）从这20名学生中依次再抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出的1名学生分数在区间
内的条件下，后两次抽出的2名学生分数都在
内的概率；
（ii）从这20名学生中再任取3名进行调查分析，记取出的3人中分数在[90,100]内的人数为
，求的分布列和数学期望.
附：
，由此得到如下的频数统计表：分数区间 性别 |  |  |  |  |
| 男生/名 | 10 | 70 | 75 | 45 |
| 女生/名 | 10 | 90 | 45 | 55 |
(2)利用对不同分数段进行分层抽样的方式从参赛学生中随机抽取20名学生作进一步调研.
（i）从这20名学生中依次再抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出的1名学生分数在区间
内的条件下，后两次抽出的2名学生分数都在内的概率；（ii）从这20名学生中再任取3名进行调查分析，记取出的3人中分数在[90,100]内的人数为
，求的分布列和数学期望.附：
 | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐1】甲､乙､丙等9人随机站成一排．
(1)求甲､乙､丙互不相邻的概率；
(2)在丙站在最右端的前提下，记甲､乙两人之间所隔的人数为X，求X的分布列及其数学期望．
(1)求甲､乙､丙互不相邻的概率；
(2)在丙站在最右端的前提下，记甲､乙两人之间所隔的人数为X，求X的分布列及其数学期望．
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】2016年高一新生入学后，为了了解新生学业水平，某区对新生进行了水平测试，随机抽取了50名新生的成绩，其相关数据统计如下：
（Ⅰ）若从分数在
，
的被调查的新生中各随机选取2人进行追踪调查，求恰好有2名新生选择题得分不足24分的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，记选中的4名新生中选择题得分不足24分的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
分数段 | 频数 | 选择题得分24分以上（含24分） |
| 5 | 2 |
| 10 | 4 |
| 15 | 12 |
| 10 | 6 |
| 5 | 4 |
| 5 | 5 |
，的被调查的新生中各随机选取2人进行追踪调查，求恰好有2名新生选择题得分不足24分的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，记选中的4名新生中选择题得分不足24分的人数为
，求随机变量的分布列和数学期望.
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名校
【推荐3】同程旅游随机调查了年龄在
（单位：岁）内的1250人的购票情况，其中50岁以下（不包含50岁）的有900人，50岁以上（包含50岁）的有350人，由调查数据的统计结果显示，有
的人参与网上购票，网上购票人数的频率分布直方图如下图所示.
（1）已知年龄在
，
，
的网上购票人数成等差数列，求
的值；
（2）根据题目数据填写
列联表，并根据填写数据判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为网上购票与年龄有关系？
附：
（3）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在
岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和的分布列和数学期望.
（单位：岁）内的1250人的购票情况，其中50岁以下（不包含50岁）的有900人，50岁以上（包含50岁）的有350人，由调查数据的统计结果显示，有的人参与网上购票，网上购票人数的频率分布直方图如下图所示.（1）已知年龄在
，，的网上购票人数成等差数列，求的值；（2）根据题目数据填写
列联表，并根据填写数据判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为网上购票与年龄有关系？| 50岁以下 | 50岁以上 | 总计 | |
| 参与网上购票 | |||
| 不参与网上购票 | |||
| 总计 |
 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 6.635 | 7.879 | 10.828 |
岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和的分布列和数学期望.
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适中
(0.65)
【推荐1】有机蔬菜是一类真正源于自然、富营养、高品质的环保型安全食品；绿色蔬菜是无机的．有机与无机主要标准是：有无使用化肥、农药、生长激素和转基因技术四个标准．有机蔬菜种植过程中不使用任何的人工合成的农药和化肥，但是绿色蔬菜在操作规程上是允许限量使用一些低毒，低残留的农药．种植有机蔬菜的土地一般来说都需要有三年或者三年以上的转换期，这就导致了种植有机蔬菜的时间成本高．某公司准备将M万元资金投入到该市蔬菜种植中，现有绿色蔬菜、有机蔬菜两个项目可供选择．若投资绿色蔬菜一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如下表所示：
且的期望
；若投资有机蔬菜一年后可获得的利润
（万元）与种植成本有关，在生产的过程中，公司将根据种植成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为
（
）和
．若有机蔬菜产品价格一年内调整次数n（次）与的关系如下表所示：
(1)求的值；
(2)根据投资回报率的大小，现在公司需要决策：当的在什么范围取值时，公司可以获得最大投资回报率．（投资回报率
）
（万元）的概率分布列如下表所示：
| 95 | 126 | 187 |
P |
| 0.5 |
|
的期望；若投资有机蔬菜一年后可获得的利润（万元）与种植成本有关，在生产的过程中，公司将根据种植成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为（）和．若有机蔬菜产品价格一年内调整次数n（次）与的关系如下表所示：
| 0 | 1 | 2 |
| 41.2 | 117.6 | 204.0 |
(1)求
的值；(2)根据投资回报率的大小，现在公司需要决策：当
的在什么范围取值时，公司可以获得最大投资回报率．（投资回报率）
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐2】某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有
人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有
个人，把这个个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为
次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为．
(1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若
，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；
(2)设
个人一组混合检验时每个人的血需要检验的平均次数（例如5人一组，血液混合在一起检查为阴性，则平均每人检查次数为0.2次）．
①当
，时，求的分布列；
②是运用统计概率的相关知识，求当和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．
人，若逐个检验就需要检验次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验，这时个人的检验次数为次．假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为．(1)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若
，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；(2)设
个人一组混合检验时每个人的血需要检验的平均次数（例如5人一组，血液混合在一起检查为阴性，则平均每人检查次数为0.2次）．①当
，时，求的分布列；②是运用统计概率的相关知识，求当
和满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐3】某地A，B，C，D四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表（单位：十台）：
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程
；
(2)假设每台冰箱的售价均定为4000元．若进入A商场的甲、乙两位顾客准备购买一台该型冰箱，购买这种冰箱的概率分别为p，
，且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求p的取值范围．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
．
A商场 | B商场 | C商场 | D商场 | |
购进该型冰箱数x | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售该型冰箱数y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程
；(2)假设每台冰箱的售价均定为4000元．若进入A商场的甲、乙两位顾客准备购买一台该型冰箱，购买这种冰箱的概率分别为p，
，且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求p的取值范围．参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
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