【推荐1】已知数列满足，．
(1)计算：，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；
(2)若，，求k的取值范围．

【推荐2】设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：
(2)求数列的通项公式：
(3)证明：对一切正整数，有.

【推荐3】对任意函数，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据，经数列发生器输出；
②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入断，再输出，并依此规律继续下去．现定义．

(1)若输入，则由数列发生器产生数列．请写出数列的所有项；
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；
(3)是否存在时，在输入数据时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知．求证：当为偶数时，能被64整除．

【推荐2】设.
（1）求的值；
（2）求除以9的余数.

【推荐3】利用二项式定理证明()能被25整除.

【推荐1】已知数列…，为该数列的前项和，计算得， ， ， .
观察上述结果，推测出，并用数学归纳法加以证明．

【推荐2】设，对于,,，…，定义，求证：对于，有．

【推荐3】如图所示，圆C上有n个不同的点P₁，P₂，…，P_n，设两两连接这些点所得线段P_iP_j中，任意三条在圆内都不共点，试证它们在圆内共≥4）.

【推荐1】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．
(1)某学生发现以下特征：由此可归纳出一个结论？能否给出证明？
(2)证明：

【推荐2】设等差数列的公差，且，记
     （1）用分别表示，并猜想；
     （2）用数学归纳法证明你的猜想.

【推荐3】某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质：
①输入时，输出结果是；
②输入整数时，输出结果是将前一结果先乘以，再除以.
（1）求，，；
（2）试由（1）推测 （其中）的表达式，并给出证明.