【推荐1】已知数列，满足，；
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前2n项和．

【推荐2】在（）个不同数的排列中，若时有（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．例如，三个数的排列中，因为，，称 7与3，7与4均构成逆序，而，3与4不构成逆序，于是排列的逆序数为2．记排列的逆序数为．
(1)求，，，并写出的表达式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设数列的前项和为，证明．

【推荐3】已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．

【推荐1】数列满足，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，数列的前项和为，对任意的，，恒成立，求正数的取值范围.

【推荐2】在数列中，，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

【推荐3】在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
(1)若，求，；
(2)设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；
(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．

【推荐1】若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“阿当数列”．
（1）若数列为“阿当数列”，且，，，求实数m的取值范围；
（2）是否存在首项为1的等差数列为“阿当数列”，且其前n项和满足？请证明你的结论；
（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“阿当数列”，，，当数列不是“阿当数列”时，试判断数列是否为“阿当数列”，并说明理由．

【推荐2】已知无穷数列，若存在常数，满足：①对于中的任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中的任意一项，在中都存在两项，使得；则称数列为数列，称为该数列的特征值.
（1）数列，其中，判断是否为数列，若是数列，求出该数列的特征值，若不是，请说明理由；
（2）数列是特征值为3的数列，且，判断是否存在，满足，，并请说明理由；
（3）数列单调，且是特征值为2的数列，求证：数列为等差数列.

【推荐3】已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．
(1)若，求其生成数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为，求证：；
(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．