【推荐1】已知数列各项均为正数，，，且对任意恒成立，记的前项和为.
（1）若，求的值；
（2）证明：对任意正实数，成等比数列；
（3）是否存在正实数，使得数列为等比数列.若存在，求出此时和的表达式；若不存在，说明理由.

【推荐2】设数列的前项和为,且.
(1)求出,,的值,并求出及数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和;
(3)设,在数列中取出(且)项,按照原来的顺序排列成一列,构成等比数列,若对任意的数列,均有,试求的最小值.

【推荐3】数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.

【推荐1】已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
（i）求证；
（ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和.

【推荐2】已知等差数列为递增数列，，
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值．

【推荐3】设等比数列，，，的公比为，等差数列，，，的公差为，且，.记.
（1）求证：数列，，不是等差数列；
（2）设，.若数列，，是等比数列，求关于的函数关系式及其定义域；
（3）数列，，，能否为等比数列？并说明理由.

【推荐1】已知数列的前项和满足；数列满足，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)记数列，，求；
(3)记数列，求证：．

【推荐2】设正项数列的前项和为，对任意都有成立．
(1)求数列的前项和；
(2)记数列 ，其前项和为．
①若数列的最小值为，求实数的取值范围；
②若数列中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意，都有，且．若存在，求实数的所有取值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知为实数，数列满足：①；②．若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列为周期数列．
(1)当时，求的值；
(2)求证：存在正整数，使得；
(3)设是数列的前项和，是否存在实数满足：①数列为周期数列；②存在正奇数，使得．若存在，求出所有的可能值；若不存在，说明理由．

【推荐1】已知集合，数列的首项，且当时，点，数列满足.
（1）证明数列是等差数列；
（2）求数列.的通项公式；
（3）若（，），求的值.

【推荐2】已知数列的前项和是，，数列满足且．
（1）求和的通项公式；
（2）若，求的前项和及的最大值．

【推荐3】设是数列的前项之积，且满足，.
（1）求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；
（2）设是数列是前项之和，证明：.