【推荐1】已知在平面直角坐标系xOy中一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且右顶点为．设点A的坐标是．

(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
(3)过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．

【推荐2】已知椭圆的焦距为，四个顶点构成的四边形面积为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率存在的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，，若点在椭圆上，请判断的面积是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，说明理由.

【推荐3】已知椭圆的离心率，过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的左顶点，是椭圆上的不同两点（与不重合），直线 的斜率分别为，且，证明直线过一个定点，并求出这个定点的坐标.

【推荐1】已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)P为椭圆C的右顶点，设直线与椭圆C交于异于点P的两点，且，求的最大值.

【推荐2】已知椭圆，为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（）与椭圆交于两点，若线段中点在直线上，求的面积的最大值．

【推荐3】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点的距离之比且是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的上顶点与右顶点，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，过点斜率分别为的直线与椭圆的另一个交点分别为，且满足，试探究面积是否存在最大值，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．