【推荐1】已知抛物线的准线与半椭圆相交于两点，且.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点是半椭圆上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求面积的取值范围.

【推荐2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③MN的方程为.
(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线的标准方程；
(2)设直线与相交于A，B两点，线段AB的中点为，且与相切于点，与直线交于点，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线.

【推荐3】如图，椭圆：的上顶点恰为抛物线的焦点，是抛物线上的两个动点.

（1）若点，且满足，求点横坐标的取值范围；
（2）若三点共线，过坐标原点的直线平分，且与椭圆交于两点，求面积的最大值.

【推荐1】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，交轴于点为坐标原点.
（1）若,求直线的方程；
（2）线段的垂直平分线与直线轴，轴分别交于点，求 的最小值.

【推荐2】抛物线的焦点是的顶点,过点的直线的斜率分别是且,直线与交于，直线与交于

（1）求抛物线的方程,并证明：分别是的中点，且直线过定点
（2）①求面积的最小值
②设面积分别为，求证：

【推荐3】设为坐标原点，动圆过定点, 且被轴截得的弦长是8.
（Ⅰ）求圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）设是轨迹上的动点，直线的倾斜角之和为，求证：直线过定点.

【推荐2】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点.
(1)求抛物线的方程以及的值；
(2)记抛物线的准线与轴交于点，若，，求实数的值.

【推荐3】如图，已知抛物线：()的焦点为，准线为，为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于点，直线与抛物线的另一个交点为，过点作抛物线的切线交轴于点，与直线交于点，连结.

（1）证明：直线轴；
（2）记，的面积分别为，，当时，求点的横坐标.