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1 . 我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，大正方形
由4个全等的直角三角形和一个小正方形
组成，
，
，
．
．
(2)若直角三角形
的面积为
，
，求小正方形的边长．
由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，．
．(2)若直角三角形
的面积为，，求小正方形的边长．
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2024-02-26更新
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131次组卷
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3卷引用：河北省石家庄市平山县外国语中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题
2 . 聪聪和妍妍都用长为4l厘米的铁丝折矩形．聪聪折成的是正方形，其面积记为
平方厘米；妍妍折成的是长、宽不相等的长方形，其一边长为a厘米，其面积记为
平方厘米．
(1)请用含l和a的式子分别表示，；
(2)当
、
时，请比较、的大小；
(3)请先猜想、的大小，再用求差法证明你的猜想．
平方厘米；妍妍折成的是长、宽不相等的长方形，其一边长为a厘米，其面积记为平方厘米．(1)请用含l和a的式子分别表示
，；(2)当
、时，请比较、的大小；(3)请先猜想
、的大小，再用求差法证明你的猜想．
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3 . “字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：
；第2个等式：
；
第3个等式：
；第4个等式：
；
(1)请用此方法拆分
．
(2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的．
(3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度．
第1个等式：
；第2个等式：；第3个等式：
；第4个等式：；(1)请用此方法拆分
．(2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的．
(3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度．
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4 . 数学活动课上，同学们根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当
，
时，
与
的大小关系”．
下面是探究过程．
①具体运算，发现规律：
当，时，
特例1：若
，则
；
特例2：若
，则
；
特例3：若
，则
；
②观察、归纳，得出猜想：
当，时，
．
③证明猜想：
当，时，
，
，
当且仅当
时，
．
请你利用发现的规律，解答以下问题．
(1)当
时，
的最小值为 ．
(2)当
时，
的最小值为 ．
(3)当时，
的最大值为 ．
，时，与的大小关系”．下面是探究过程．
①具体运算，发现规律：
当
，时，特例1：若
，则；特例2：若
，则；特例3：若
，则；②观察、归纳，得出猜想：
当
，时，．③证明猜想：
当
，时，，，当且仅当
时，．请你利用发现的规律，解答以下问题．
(1)当
时，的最小值为 ．(2)当
时，的最小值为 ．(3)当
时，的最大值为 ．
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5 . 观察下列等式：
①
；
②
；
③
；
④
这些等式反映了某种规律．
(1)请你写出第6个等式_____；
(2)试用含
（
，且为正整数）的式子，表示你发现的规律，并证明你发现规律的正确性．
①
；②
；③
；④
这些等式反映了某种规律．(1)请你写出第6个等式_____；
(2)试用含
（，且为正整数）的式子，表示你发现的规律，并证明你发现规律的正确性．
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6 . 定义：任意两个数á，b，按规则
扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“求实数”.
(1)若
，
，求出a,，b的“求实数”c；
(2)如果
求a， b的“求实数”c，并证明：无论 m取何值时“求实数”c总是非正数；
扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“求实数”.(1)若
，，求出a,，b的“求实数”c；(2)如果
求a， b的“求实数”c，并证明：无论 m取何值时“求实数”c总是非正数；
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7 . 发现：两个连续偶数的平方差一定是偶数，且这个偶数等于这两个偶数之间的奇数的四倍，例如：
，则
可以表示为______的四倍；
验证：若两个连续偶数的平方差刚好是9的四倍，求这两个偶数；
探究：n表示两个连续偶数中较小的数，用含n的等式表示“发现”中的结论，并证明.
，则可以表示为______的四倍；验证：若两个连续偶数的平方差刚好是9的四倍，求这两个偶数；
探究：n表示两个连续偶数中较小的数，用含n的等式表示“发现”中的结论，并证明.
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2023-09-23更新
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74次组卷
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2卷引用：河北省石家庄市第二十八中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题
8 . 图1是一个长为
、宽为
的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．
(1)观察图2填空：正方形的边长为______，阴影部分的小正方形的边长为______；
(2)观察图2，试猜想式子
，
，
之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知
，
，求的值．
、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形．(1)观察图2填空：正方形
的边长为______，阴影部分的小正方形的边长为______；(2)观察图2，试猜想式子
，，之间的等量关系，并证明你的结论；(3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知
，，求的值．
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9 . 已知整式
的值为
，
的值为
．
(1)【发现】当
时，
，
__________，__________（填“
”“＝”或“＜”）；
当时，
__________，
，__________Q．
(2)【猜想与验证】无论
为何值，__________始终成立，并证明该猜想的结论．
的值为，的值为．(1)【发现】当
时，，__________，__________（填“”“＝”或“＜”）；当
时，__________，，__________Q．(2)【猜想与验证】无论
为何值，__________始终成立，并证明该猜想的结论．
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10 . 设
表示一个两位数，其中是十位上的数字（
），例如，当
时，表示的两位数是45．观察以下等式：
①当
时，
；
②当
时，
；
③当
时，
；
……
根据以上规律，解决下列问题
(1)写出第六个等式：______
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明：
(3)运用：若
与
的差为2525．求的值．
表示一个两位数，其中是十位上的数字（），例如，当时，表示的两位数是45．观察以下等式：①当
时，；②当
时，；③当
时，；……
根据以上规律，解决下列问题
(1)写出第六个等式：______
(2)写出你猜想的第
个等式（用含的式子表示），并证明：(3)运用：若
与的差为2525．求的值．
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2023-05-11更新
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120次组卷
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2卷引用：2023年河北省秦皇岛市海港区中考一模数学试题
