1 . 如图①，抛物线
与x轴交与
、
两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得
的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点M从B点以每秒
个单位长度沿BA方向向点A运动，同时，点N从C点以每秒
个单位沿
方向向点B运动．设运动时间为t秒，当t为何值，以B，M，N为顶点的三角形与
相似?
与x轴交与、两点．(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得
的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点M从B点以每秒
个单位长度沿BA方向向点A运动，同时，点N从C点以每秒个单位沿方向向点B运动．设运动时间为t秒，当t为何值，以B，M，N为顶点的三角形与相似?
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解题方法
2 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于点
，与y轴交于点C，点D为
的中点．
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若
有最小值，求此时点G的坐标；
(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求
面积的最大值；
与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若
有最小值，求此时点G的坐标；(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求
面积的最大值；
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2023-02-28更新
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371次组卷
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7卷引用：山东省济南市章丘区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
3 . 如图，抛物线与x轴交于
，
两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得
的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
与x轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得
的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得
的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
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2023-02-23更新
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411次组卷
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9卷引用：山东省东营市河口区实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
山东省东营市河口区实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题山东省淄博市临淄区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题山东省东营市垦利区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题重庆市永川区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题四川省泸州市合江县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题山东省东营市东营经济技术开发区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题河南省部分学校2021-2022学年九年级上学期第一次阶段性测试数学试题河北省邯郸市曲周县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）专题03 二次函数的最值与存在性问题（20题）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（人教版）
4 . 如图，已知抛物与轴交于
，
两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），
轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，求
的面积的最大值；
(3)若点D为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点E，使E到点B的距离与点E到点D的距离之差最大？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
与轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为线段
上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，求的面积的最大值；(3)若点D为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点E，使E到点B的距离与点E到点D的距离之差最大？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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5 . 如图，抛物线
与
轴交于
、
两点，与
轴交于
点，
，
，连接
和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点
使得
的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若点
是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点
，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请 直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点
使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；(3)若点
是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请 直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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2023-02-06更新
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178次组卷
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2卷引用：山东省德州市德城区第九中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题
名校
6 . 如图，已知抛物线
与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段
所在直线的解析式；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使
为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
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2023-02-03更新
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236次组卷
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3卷引用：2022年山东省菏泽市重点中学中考数学模拟预测试卷
7 . 如图，在平面直角坐标系中，
为等腰直角三角形，
，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为
，
，抛物线的顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是直角斜边
上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段
的长度最大时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使
是以
为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
为等腰直角三角形，，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D．(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是直角
斜边上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使
是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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8 . 如图，抛物线
与 x 轴交于 A，B 两点，且
，与 y 轴交
于点 C，连接，抛物线对称轴为直线
， D 为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作
于点 E，与交于点 F，设点 D 的横坐标为 m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得
的周长最小？若存在，求点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点 D，使得的面积最大，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
与 x 轴交于 A，B 两点，且，与 y 轴交于点 C，连接，抛物线对称轴为直线， D 为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作于点 E，与交于点 F，设点 D 的横坐标为 m．(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得
的周长最小？若存在，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点 D，使得
的面积最大，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
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9 . 如图，一次函数
分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线
过A、B两点．
(1)求这个抛物线的解析式；直接写出当
时x的取值范围．
(2)作垂直x轴的直线
，在第一象限交直线于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，
有最大值？最大值是多少？
分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线过A、B两点．(1)求这个抛物线的解析式；直接写出当
时x的取值范围．(2)作垂直x轴的直线
，在第一象限交直线于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，有最大值？最大值是多少？
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10 . 如图，这是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在地面有
，两个观测点，分别测得目标点火炬的仰角为
，
，米，
，
．可用位于点正上方2米处的发射装置（点），向目标发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米（图中
点）．
(1)求火球运行轨迹的抛物线对应的函数表达式．
(2)说明按（1）中轨迹运行的火球能否点燃目标．
，两个观测点，分别测得目标点火炬的仰角为，，米，，．可用位于点正上方2米处的发射装置（点），向目标发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米（图中点）．(1)求火球运行轨迹的抛物线对应的函数表达式．
(2)说明按（1）中轨迹运行的火球能否点燃目标
．
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