1 . 如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标．
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接．

      

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 年东京奥运会，中国跳水队赢得个项目中的块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
   
(1)时，求这条抛物线的解析式．
(2)（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离．
(3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点）入水时才能达到训练要求，求的取值范围．

4 . 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；

   

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值；
(3)若点M是直线下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段交于点N，求线段的最大值．

5 . 是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是________．
   

6 . 如图，在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为，点A，B在x轴上，且，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
   
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在直线上方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
(3)在x轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

(1)求抛物线及直线的函数关系式；
(2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 如图，抛物线与x轴交于，两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，与轴交于点、（点在点左侧）．

(1)求二次函数的解析式及顶点坐标；
(2)求，两点的坐标，并根据图像直接写出当时，自变量的取值范围．

10 . 已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．

(1)抛物线的解析式为___________，抛物线的顶点坐标为___________．
(2)如图1，是否存在点P，使四边形的面积为9？若存在，请求出点Р的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，连接交于点，当时，请直接写出点D的坐标；
(4)如图3，点E的坐标为，点C为x轴负半轴上的一点，，连接PE，若，请求出点Р的坐标．