2 . 定义：在任意中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为，那么称此三角形为“倍角互余三角形”．

(1)【基础巩固】若是“倍角互余三角形”，，，则________；
(2)【尝试应用】如图1，在中，，点为线段上一点，若与互余．求证：是“倍角互余三角形”；
(3)【拓展提高】如图2，在中，，，，试问在边上是否存在点，使得是“倍角互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

3 . 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“雅系三角形”．
   
(1)如图①，若△ABC和△ADE互为“雅系三角形”，连接BD、CE．求证：BD＝CE；
(2)如图②，在（1）的条件下，若BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME；
(3)如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．

4 . 已知点O在直线上，是直角，平分．

(1)如图1，若，求的度数      ；
(2)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
(3)将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为_______________（用含有的式子表示），不必说明理由．

5 . 如图，，，，，垂足分别为，，试探究：线段AD、DE、BE的关系．

6 . 如图：在直角中，，点在边上，连接；

（1）如图，若是的角平分线，且，探究与的数量关系，说明理由；
（2）如图，若，于点，交于点，点在的延长线上且．连接，求证：．

7 . 如图1，把直角三角形MON的直角顶点O 放在直线AB上，射线 OC平分∠AON．

观察分析：（1）如图1，若∠MOC=28°，则∠BON的度数为          ；
（2）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，若∠BON=100°，求∠MOC 的度数．
猜想探究：（3）若将三角形 MON绕点O旋转到如图3所示的位置，请你猜想∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由．

8 . 小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究

(1)如图（1），已知，小宋把三角板的直角顶点放在直线上．若，直接写出的度数；若，直接写出的度数（用含的式子表示）．
(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边上，求的度数．

9 . （1）【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为_______．
（2）【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．
（3）【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，直接写出△BCD的面积（用含a的代数式表示）．

10 . 如图，点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB．
（1）如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数；
（2）将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．
①探究∠AOM和∠CON之间的数量关系，并说明理由；
②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．