1 . 综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，．
问题发现
奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N．
如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明．
如图2小红发现，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求……．

问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答．
问题1：如图1，按照如上操作
（1）折痕的长为______；
（2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论；
问题2：在绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当直线经过点B时，的长为______；
②如图3，当直线时，求的长；
拓展延伸：
小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答．
问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积．

2 . 如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ___________________．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点P的横坐标为（       ）

   

A．1.5

B．2

C．3

D．1

4 . 如图1，在等边三角形中，点D、E分别在边上， ，连接、，与相交于P．

(1)求证：；
(2)如图2，过点A作，分别交、于M、N，比较与的大小并证明；
(3)如图3，连接，若，求的度数．

5 . 如图，已知直线与直线、分别相交于点、，点是位于下方，上方，右侧的一点，．
   
(1)求证：；
(2)若，分别平分，，请在图1中画出点，并连接，．判断与是否垂直，并说明理由（不要求尺规作图）；
(3)如图2，过点作垂直于直线，交于点，点是射线上一点，连接，，，作的角平分线，交于点，点是的邻补角平分线上一点，连接，若，试判断射线上是否存在一点，有，说明理由．

6 . 八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
   
(1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：      ；中线的取值范围是      
(2)【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由．

7 . 如图，在中，，，，，以下结论正确的是_____．
①；②若，则；③和相似，则；④连接，则的最大值为．

   

8 . 等腰三角形中，，记，周长为，定义为这个三角形的坐标．如图所示，直线，，将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（       ）
①对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域I中；
②对于任意等腰三角形，其坐标可能位于区域IV中；
③若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中；
   

A．①③

B．①②③

C．②③

D．①

9 . 如图，已知线段，，点E为边上动点，则的最小值为（       ）
   

A．2

B．

C．

D．6

10 . 如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为______．