1 . 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

   

(1)【问题探究】如图2，在正方形中，点分别在线段上，且，试猜想_________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形中，，点分别在线段上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形中，，点分别在线段上，且，求的值．

2 . 如图，四边形中， ，，，，垂足为E．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．

3 . （1）操作思考：如下图，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则：

①的长为______；②点的坐标为______；（直接写结果）
（2）拓展研究：如下图，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点，是线段上的一个动点，点是直线上一动点，是否存在以点为直角顶点的等腰直角，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）感悟应用：如下图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，若将直线绕点旋转后与轴交于点，则点的坐标为______．（直接写出答案）

4 . 如图，图中两条弦相交于点E，且，求证：．

5 . 如图，已知，直线垂直平分，与边交于点，连接，过点作交于点，连接．

(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形，
(3)若，，则菱形的面积是多少？

6 . 如图：点B，E，C，F在一条直线上，．求证：．

7 . 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得哪条线段的长就是A、B两点的距离，请说明理由．

8 . 如图，在中，于E，于D，，求BE的长．

9 . 已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F．求证：OE=OF．