1 . 阅读下列材料，解答问题：
材料   从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线．例如：线段把等腰分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线．
解答下列问题：

(1)如图1，已知中，，，为的完美分割线，且，则________°，________°；
(2)如图2，已知中，，，，求证：为的完美分割线；
(3)如图3，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M，求证：．

2 . 如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的各边上，且与E，若，则的长为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 如图，中，，是的中点，，，垂足分别为E，F ，连接．

(1)求证：为等腰三角形；
(2)填空:①当的度数为       时，为等边三角形；
②当的度数为       时，为直角三角形．

4 . 在数学课上，老师给出了如下问题：如图，为的中线．点在上，交于点．求证．
经过探索，小航同学得到一种思路：
如图1，添加辅助线后，依据可证得，再利用可以进一步证得，从而证明结论．

(1)请你写出他的证明过程．
(2)请写出另外一种不同的辅助线作法（要求：只写出辅助线的作法，画出图形，不需要写出证明过程）．

5 . 在四边形ABCD中，，，于点E，于点F．求证：
   
(1)；
(2)．

6 . 如图，在中，，是边上的中点，三角板的直角顶点与重合，，直角三角形板绕点旋转使边交于点，边交于点（、不与、重合），连接．
          
(1)如图①，当时，
①请直接写出的取值范围；
②判断的形状并说明理由；
③判断四边形的面积在旋转的过程中是否变化，若不变，求出该四边形的面积；若变化，请说明变化的范围：
(2)如图②，直接写出线段，和的数量关系．

7 . 如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（　　）

   

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为5和11，则的面积为（       ）
   

A．6

B．5

C．11

D．16

10 . 如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　）

A．1

B．1.5

C．2

D．2.5