1 . 解答

（1）方法原型：如图①点B、A、C在同一条直线上，，且，，则．

（2）问题解决：（1）中的之间的数量关系为         ．

（3）拓展延伸：如图②，中，，，点D为射线上一点，以为直角边在的右侧作等腰，使．

i．如图②，连结，当时，求的面积．

ii．如图③，当时，请直接写出点E到边的距离．

2 . 如图所示，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形，那么线段与的比等于（　　）

A．25：23

B．5：4

C．25：24

D．4：3

3 . 如图，直线在平面直角坐标系中，且，点在轴上，将沿直线折叠，点刚好落在轴上的点处．

(1)请直接写出点的坐标：（______，______）；
(2)求的长；
(3)如图，点是直线与直线的交点，求点的坐标；若在轴上存在一点，使得以为顶点的三角形是直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．

4 . 【初步感知】
（1）如图①，在中，点为上一点，连接并延长交的延长线于点，若，求证：点是的中点；

【探究运用】
（2）如图②，在四边形中，，，，，点是的中点，且，、的延长线相交于点，求证四边形是菱形，并求的长；

【实际运用】
（3）如图③，某小区内有一块三角形区域，在边的中点处修建一个公共卫生间，在边上确定一点，使得，修两条笔直的小路和，在其交汇处修一凉亭（凉亭大小忽略不计），已知凉亭到处的距离为200米（即米），求凉亭到处的距离．

5 . 如图1，在矩形中，，E是边的中点，P（与点B，C不重合）是边上一动点，连接延长交的延长线于点Q．

(1)求证：．
(2)当时，求的长．
(3)如图2，分别取的中点连接，当时，求的长和的面积．

7 . 材料：如图所示，、、三点在同一条直线上，，，，则有.
   
(1)【小试牛刀】如图1，在平面直角坐标系中，且，，点、按顺时针顺序排列，则点坐标为______；
(2)【深入探究】如图2，点，分别在轴、轴上，，点在轴负半轴上，连，作且，连交轴于，请猜想线段与线段的数量关系并进行证明；
(3)【拓展提升】如图3，，轴，在直线上有一动点，连接并在轴下方作且，连接点与点的线段交轴于点，当时，求点的坐标.

9 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E为B点左侧x轴上一动点（不与原点O重合），点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在正方形中，点E、F为和上的点且，连接与相交于点G，若，空白部分面积为，则的长为（     ）

   

A．

B．

C．

D．