1 . 在正方形
中，对角线
、
交于点
，
的平分线交
于点
，交于点
．过点作
于点
，
交于点
．下列结论：①
；②四边形
是菱形；③
；④若
，则
．其中正确的个数有________ （填序号）．
中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有
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2 . 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接
、，则
_________
；
【解决问题】
（2）将矩形
绕点
顺时针转动，边
与边
交于点，连接
，
，
．
①如图2，当
时，求证：
平分
；
②如图3，当点F落在
上时，连接
交于点，则
_________；
【迁移应用】
（3）如图4，正方形的边长为5，E是
边上一点（不与点B、C重合），连接
，将线段绕点顺时针旋转
至
，作射线
交的延长线于点，则
_________；
（4）如图5，在菱形中，
，是边上一点（不与点C、D重合），连接
，将线段绕点顺时针旋转
至，作射线
交的延长线于点．若
，则
_________．
（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接
、，则_________；【解决问题】
（2）将矩形
绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，．①如图2，当
时，求证：平分；②如图3，当点F落在
上时，连接交于点，则_________；【迁移应用】
（3）如图4，正方形
的边长为5，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，则_________；（4）如图5，在菱形
中，，是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．若，则_________．
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3 . 如图，四边形中，
，点E在上，连接
交于点K，
于点F，
交于点U，G为的中点，连接
，且
．
；
(2)如图2，当
时，求
的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，
，
，求的长．
中，，点E在上，连接交于点K，于点F，交于点U，G为的中点，连接，且．
；(2)如图2，当
时，求的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，，，求的长．
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4 . 如图，在平面直角坐标系
中，点A的坐标为
，点B的坐标为
，点C的坐标为
，连接，以为边作正方形
（A，C，D，E顺时针排列），探究以下问题：
时，点D的坐标为______；
②用含m的代数式表示点D的坐标为______；
(2)连接
，
的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由；
(3)平面内是否存在点F，使得以B、D、E、F为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接，以为边作正方形（A，C，D，E顺时针排列），探究以下问题：
时，点D的坐标为______；②用含m的代数式表示点D的坐标为______；
(2)连接
，的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由；(3)平面内是否存在点F，使得以B、D、E、F为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
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5 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形
的对角线
在
轴上，、
两点分别在第一象限和第二象限，点坐标
．的坐标；
(2)如图2，
为射线
上一动点(不与点和点重合)，过点作
轴交直线于点
设线段
的长度为
，点的坐标为
，求与
的关系式（不要求写出的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，当点运动到线段的延长线上时，连接
交轴于点，连接，
，延长
交于点，过作
交
轴于，
的角平分线
交轴于点
，求点的坐标．
为坐标原点，菱形的对角线在轴上，、两点分别在第一象限和第二象限，点坐标．
的坐标；(2)如图2，
为射线上一动点(不与点和点重合)，过点作轴交直线于点设线段的长度为，点的坐标为，求与的关系式（不要求写出的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，当点
运动到线段的延长线上时，连接交轴于点，连接，，延长交于点，过作交轴于，的角平分线交轴于点，求点的坐标．
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6 . 如图
与
为正三角形，点为射线
上的动点，作射线
与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转
，得到射线
，射线与直线相交于点．与点重合时，点，分别在线段
，
上，求证：
；
(2)如图②，当点O在
的延长线上时，E，F分别在线段
的延长线和线段上，试探索
三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)点O在线段
上，若
，
，当
时，请直接写出
的长．
与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点．+
与点重合时，点，分别在线段，上，求证：；(2)如图②，当点O在
的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)点O在线段
上，若，，当时，请直接写出的长．
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7 . （1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长
交于点F，连接，求
的度数；
（2）如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则
①
；
②若
线段 
；
（3）如图3，在矩形中，
，点E、F 分别在边
上，将矩形沿
折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 
，求
的长．
，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数；（2）如图2，将正方形纸片沿
继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则①
；②若
线段 ；（3）如图3，在矩形
中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．
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8 . 在平面直角坐标系中，对于正方形和它边上的动点P，以
为斜边作等腰
且O，P，Q三点按顺时针排列，则称点Q是点P关于正方形的“相关点”．已知
，
，
，
，这里
．
，当点P在正方形的边上运动时，设点P关于正方形的“相关点”为点Q．
①若点Q恰好也在正方形的边上，这样的点P的个数是_________；
A．0个；B．1个；C．2个；D．4个
②设点P的横坐标为p，求点Q的坐标；
(2)当
时，对于正方形和它边上的动点P，则所有点P关于正方形的“相关点”组成图形的面积为_________；
(3)如图2，
，
，当点P在正方形的四条边上运动时，若线段上有且只有一个P关于正方形的“相关点”，直接写出a的取值范围．
中，对于正方形和它边上的动点P，以为斜边作等腰且O，P，Q三点按顺时针排列，则称点Q是点P关于正方形的“相关点”．已知，，，，这里．
，当点P在正方形的边上运动时，设点P关于正方形的“相关点”为点Q．①若点Q恰好也在正方形
的边上，这样的点P的个数是_________；A．0个；B．1个；C．2个；D．4个
②设点P的横坐标为p，求点Q的坐标；
(2)当
时，对于正方形和它边上的动点P，则所有点P关于正方形的“相关点”组成图形的面积为_________；(3)如图2，
，，当点P在正方形的四条边上运动时，若线段上有且只有一个P关于正方形的“相关点”，直接写出a的取值范围．
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名校
9 . 如图，等边三角形
的边长为6，点O是的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，
，绕点O旋转
，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①
；②
；③四边形
的面积始终等于
；④
周长的最小值为9．上述结论中正确的序号是 ____________ ．
的边长为6，点O是的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，，绕点O旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为9．上述结论中正确的序号是 
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2024-04-22更新
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142次组卷
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3卷引用：山东省青岛市青岛实验初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
名校
10 . 已知点A在轴正半轴上，以为边作等边
，
，其中是方程
的解．
(1)求点A的坐标；
(2)如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连
并延长交轴于点，求
的度数；
(3)如图2，
，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接
，以为边在第一象限内作等边
，连
并延长交轴于点
，当点运动时，
的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．
轴正半轴上，以为边作等边，，其中是方程的解．(1)求点A的坐标；
(2)如图1，点
在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求的度数；(3)如图2，
，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．
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