3 . 【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：
如图，在中，点D、E分别是的中点，可以猜想：且．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
证明：在中，
∵点D、E分别是与的中点，
∴，请根据教材提示，结合图1，写出完整证明过程．
   
【结论应用】
如图2，在中垂直于的平分线于点E，且交边于点D，点F为的中点．若，求的长．
【拓展延伸】
如图3，在中，，D为中点，将绕点A逆时针旋转一定的角度，得到线段，连接，取的中点E，连接．则面积的最大值为_____________．
   

4 . 【推理】
如图1，在边长为10的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，，延长交于点，与交于点．

(1)求证：．
【运用】
(2)如图2，在【推理】条件下，延长交于点，若，求线段的长．
【拓展】
(3)如图3，在【推理】条件下，连接，则线段的最小值为______．

5 . 如图所示，在中，，，点为直线上的一个动点（不与、重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转，使点旋转到点，连接．

操作感知：如果点在线段上运动，过点作交直线于，如图所示，从而求得___________．
猜想论证：如果点在线段的延长线上运动，如图所示，以上结论是否依然成立，并说明理由．
拓展应用：连接，当点在直线上运动时，若，则的最小值为 ___________．