1 . 如图，某市新建了一个公园，在公园的湖心有一个小岛C，管理人员打算从游乐场A处修建一条可以直接通往小岛C的小路．为了估算成本，需要知道游乐场A与小岛C的距离，由于无法直接测量，工作人员设计了下列方案：画出，，射线与射线交于点D，测得，请你求出小路的距离．

2 . 【问题背景】
（1）如图1，四边形是平行四边形，，则的度数为______；
【问题探究】
（2）如图2，是等腰直角三角形，，，连接，延长至点E，使得，连接，那么与相等吗？请说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，四边形是某公园的一片空地，在上的点D处有一凉亭，公园规划人员计划铺设四条小路（小路宽度忽略不计），将这块空地分割成四部分，分别种植不同的鲜花供游客欣赏，已知，，，，其中四边形区域是平行四边形，求小路的长．

   

3 . 问题探究

（1）如图1，在中，E，F，G，H分别是边，，，上的点（不与的顶点重合），连接，，当，时，求证：．
问题解决
（2）某设计师根据客户要求在一块圆形场地进行布景设置．如图2，设计师通过设计软件画出圆形场地，记作，主区域内接于，经过圆心O，M为上一点，，，垂足分别为E，F，要求．观赏区为与，已知．设，观赏区与的面积的和为．
①求S与x之间的函数关系式．
②当S最大时，求的面积．

4 . （1）如图1，已知的顶点在直线上，点，在直线上方，，，过点和点分别向直线作垂直，垂足为点和点，若，，则四边形的面积为__________．
（2）如图2，已知在四边形中，，，若，则的面积为多少？
（3）如图3，在中，，，平分交边于点，若，则的面积为多少？

5 . 数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度．

   

6 . （1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．

   

7 . 问题探究
（1）如图1，在中，，点D是的中点，于点E．求证：；
（2）如图2，在中，连接，平分，交于E，平分，交于F．当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由；
问题解决
（3）某地为改进城市旅游景观面貌、提高市民的生活幸福指数，城建部拟规划一个形如四边形的动植物园（如图3），沿对角线、分别修建观赏小径（宽度忽略不计），已知米，米，，根据设计要求，现要将三角形区域设为熊猫娱乐区，为了游客的安全起见，将熊猫娱乐区周围筑起护栏．求所需护栏的长度（的周长）以及该动植物园所占面积（四边形的面积）．

8 . （1）探索：如图①，四边形中，，过作于点，于点，求的面积．
（2）应用：如图②所示，点为线段外一动点，且，分别以为边，作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，求面积的最大值．

          

9 . 综合应用
综合与实践数学活动课上，王老师给出了一个问题：

(1)如图1，将绕点C顺时针旋转30°，得到，点恰好落在斜边上，连接，则______．
(2)如图2，在中，，，点D，E在边上，，，且，请你求出的长度．
(3)如图3，在四边形中，，，，，，，求线段的长．

10 . 如图，在矩形中，，点是的中点，连接，点是上的点，过点作交于点，点关于的对称点为点，连接、，分别交于点，若，则四边形的面积为____________．