1 . 下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图和证明过程．
已知：中，，求作：的边上的高．
作法：（1）分别以点B和点C为圆心．为半径作弧，两弧相交于点E．
（2）作直线交边于点D．
所以线段就是所求作的高．
证明：连接，
∵，
∴点B在线段的垂直分线上（依据：）
同理可证，点C也在线段，的垂直平分线上
∴垂直平分，
∴是的高．

(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规．补全图形（保留作图痕迹）；
(2)小明证明过程中的依据是：______．
(3)善于思考的小明提出了这样一个问题，若，，的长度又是多少呢？请你帮助小明完成解答过程．

2 . 下面是小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．

   

已知：．

求作：边上的高．

作法：如图1，

①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点M，N；

②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P（不同于点A）；

③作直线交于点D． 所以线段就是所求作的的边上的高．

   

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
∵       ，         ，
∴是线段的垂直平分线（         ）(填推理的依据) ，

∴于点D，

即线段为的边上的高．

3 . 下面是小亮同学设计的“作三角形一边上的高线”的尺规作图过程．
已知：如图，．
求作：线段，使于P．
   
作法：①分别以B，C为圆心，大于的同样长为半径作弧,
两弧分别交于点D，E，作直线，交于点O；
②以O为圆心，长为半径作圆，交于点P；
②连接．
∴线段为所求的线段．
根据小亮同学设计的尺规作图过程
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹》
(2)完成下面的证明．
证明：连接，，，．
∵，，
∴垂直平分线段（______）（填推理依据）．
∴点O是线段的中点．
∴是的直径．
∴______（______）（填推理依据）．
∴．

4 . 下面是小雅“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
做法：如图，

①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）；
③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线．
根据小雅设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵PA＝________，QA＝________，
∴PQ⊥l___________（填推理的依据）．

5 . 已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB<CA．

求作：线段AB上的一点M，使得∠MCB=∠A．　
作法：①以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；　
②分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧在AB的右侧相交于点E；　
③作直线CE，交AB于点M．∠MCB即为所求．　
根据小伟设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接CD，ED，EB．　
∵CD=CB，ED=EB，　
∴CE是DB的垂直平分线（______）（填推理的依据）．　
∴CM⊥AB．
∴∠MCB+∠B=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠MCB=∠A（______）（填推理的依据）．

6 . 下面是小明设计的“三角形一边上的高”的尺规作图：

已知： 求作：的边上的高 作法：（1）分别以和为圆心，，为半径作弧，两弧相交于点， （2）作直线交于点 所以，线段就是所求作的高

根据小明的作法解决下面问题：
（1）利用直尺和圆规补全图形（要求保留作图痕迹）
（2）小明给出作图设计的理由如下：
连接，
   
点在线段的垂直平分线上（依据1）
同理可证：点也在线段的垂直平分线上
垂直平分（依据2）
线段是的边上的高．
上面说理过程中的“依据1”，“依据2”分别指什么？

7 . 在矩形中，E是边上一点．
   
(1)求作点F，使得D，F关于直线AE对称（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)平移线段，使点E与点F重合，点D的对应点为G，求证点G落在线段上．

8 . 已知：如图，是的切线，A为切点．

(1)过点P作的另一条切线，且B为切点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的情况下，连接，的半径为2，，求的长．

9 . 如图，已知点D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠A＝60°．

(1)求作Rt△DEF，使点F在AB的延长线上，∠DEF＝90°，∠EDF＝60°，且BF＝AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的前提下，连结CE，BE．求证：EB＝EC．

10 . 阅读下列材料，并完成相应的任务．

尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图①，在中，，小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线AP，则AP垂直平分BC．

(1)根据小明的作图方法，如图①，他得出“AP垂直平分BC”的依据是______；

(2)如图②，已知在四边形ABCD中，，，求作对角线BD的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线，请你帮助小明说明理由．

(3)请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：不写作法及证明，仅保留画图痕迹）
①如图③，与是全等的两个等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，请作出边AC的中点F；

②如图④，的四个顶点均在格点上，请作出对角线BD的一个三等分点E．

(4)如图⑤Rt中，，，，DE垂直平分AB，交边AB，AC于点D，E，将绕点A自由旋转，在旋转过程中，点D、E的对应点分别记为、，当点为线段的三等分点时，请直接写出BE的长．