1 . 下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图和证明过程．
已知：中，，求作：的边上的高．
作法：（1）分别以点B和点C为圆心．为半径作弧，两弧相交于点E．
（2）作直线交边于点D．
所以线段就是所求作的高．
证明：连接，
∵，
∴点B在线段的垂直分线上（依据：）
同理可证，点C也在线段，的垂直平分线上
∴垂直平分，
∴是的高．

(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规．补全图形（保留作图痕迹）；
(2)小明证明过程中的依据是：______．
(3)善于思考的小明提出了这样一个问题，若，，的长度又是多少呢？请你帮助小明完成解答过程．

2 . 下面是“作钝角三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：．求作：的边上的高．作法：①作直线；②以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；③分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；④作直线交于点，则线段即为所求．根据以上的尺规作图过程，
   
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：______，
点在线段的垂直平分线上（______）．（填推理的依据）
是线段的垂直平分线，
于，即线段为的边上的高．

3 . 下面是小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．

   

已知：．

求作：边上的高．

作法：如图1，

①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点M，N；

②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P（不同于点A）；

③作直线交于点D． 所以线段就是所求作的的边上的高．

   

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
∵       ，         ，
∴是线段的垂直平分线（         ）(填推理的依据) ，

∴于点D，

即线段为的边上的高．

4 . 下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程．
已知：平行四边形．
求作：，垂足为点．
作法：如图，
①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
②作直线，交于点；
③以点为圆心，长为半径作圆，交线段于点；
④连接，
所以线段就是所求作的高．

根据小明设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵______，______，
∴为线段的______，（_________________），（填推理的依据）
∴为中点，
∵为直径，与线段交于点，
∴，（直径所对的圆周角为直角）（填推理的依据）
∴．

5 . 下面是小亮同学设计的“作三角形一边上的高线”的尺规作图过程．
已知：如图，．
求作：线段，使于P．
   
作法：①分别以B，C为圆心，大于的同样长为半径作弧,
两弧分别交于点D，E，作直线，交于点O；
②以O为圆心，长为半径作圆，交于点P；
②连接．
∴线段为所求的线段．
根据小亮同学设计的尺规作图过程
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹》
(2)完成下面的证明．
证明：连接，，，．
∵，，
∴垂直平分线段（______）（填推理依据）．
∴点O是线段的中点．
∴是的直径．
∴______（______）（填推理依据）．
∴．

6 . 下面是晓东设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：直线及直线外一点．
求作：直线的垂线，使其经过点．
作法：如图，

①任取一点，使点与点在直线两侧；
②以为圆心，长为半径作弧交直线于，两点；
③分别以，为圆心，长为半径作弧，两弧在直线下方交于点；
④作直线．
所以直线为所求作的垂线．
根据晓东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，，，，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上（_________）（填推理的依据）．
∵_________，
∴点在线段的垂直平分线上．
∴直线为线段的垂直平分线．
即．

7 . 下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段
求作：一个直角三角形，使线段为斜边．

作法：①过任意作一条射线；
②在射线上任取两点，；
③分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；
④作射线交射线于点．
则就是所求作的直角三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)证明：连接，
∵______
∴点在线段的垂直平分线上（______________________）．（填推理的依据）
同理可证：点在线段的垂直平分线上
根据两点确定一条直线，可知是线段的垂直平分线．
∴．
(3)在中，，如果，猜想：与满足的数量关系_____________，并证明．

8 . 下面是小雅“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
做法：如图，

①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）；
③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线．
根据小雅设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵PA＝________，QA＝________，
∴PQ⊥l___________（填推理的依据）．

9 . 已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB<CA．

求作：线段AB上的一点M，使得∠MCB=∠A．　
作法：①以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；　
②分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧在AB的右侧相交于点E；　
③作直线CE，交AB于点M．∠MCB即为所求．　
根据小伟设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接CD，ED，EB．　
∵CD=CB，ED=EB，　
∴CE是DB的垂直平分线（______）（填推理的依据）．　
∴CM⊥AB．
∴∠MCB+∠B=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠MCB=∠A（______）（填推理的依据）．

10 . 数学课上，老师提出了如下问题：
尺规作图：作△ABC中BC边上的高线．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．

下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
作法：如图，
①以点B为圆心，以BA长为半径作弧，以点C为圆心，以CA长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
(2)小乐和小马帮助小东完成下面的证明．
小乐证明：
∵，，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（依据1）
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
小马证明：
∵，，，
∴△ABC≌△EBC
∴
又∵
∴（依据2）
线段AD是△ABC中BC边上的高．
上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是什么？
(3)请你用不同于小东作图的方法完成老师提出的问题．（尺规作图，不写作法，只保留作图痕迹）

(4)若，，，则BC边上的高AD的长度为________．