1 . 如图，，则有（       ）
   

A．垂直平分	B．垂直平分
C．与互相垂直平分	D．平分

2 . 下面是小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．

   

已知：．

求作：边上的高．

作法：如图1，

①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点M，N；

②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P（不同于点A）；

③作直线交于点D． 所以线段就是所求作的的边上的高．

   

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
∵       ，         ，
∴是线段的垂直平分线（         ）(填推理的依据) ，

∴于点D，

即线段为的边上的高．

4 . 已知：．
求作：点，使得点在上，且．
作法：
①分别以，为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于，；
②作直线，与交于点．
点为所求作的点．
根据上述作图过程
(1)请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，，，．
　　，，
，在线段的垂直平分线上．即是线段的垂直平分线．
点在直线上，
　　（填写推理的依据）．

5 . 如图，中，，是上一点，，过点作的垂线交于点，求证：垂直平分．

6 . 下面是晓东设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：直线及直线外一点．
求作：直线的垂线，使其经过点．
作法：如图，

①任取一点，使点与点在直线两侧；
②以为圆心，长为半径作弧交直线于，两点；
③分别以，为圆心，长为半径作弧，两弧在直线下方交于点；
④作直线．
所以直线为所求作的垂线．
根据晓东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，，，，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上（_________）（填推理的依据）．
∵_________，
∴点在线段的垂直平分线上．
∴直线为线段的垂直平分线．
即．

7 . 下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段
求作：一个直角三角形，使线段为斜边．

作法：①过任意作一条射线；
②在射线上任取两点，；
③分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；
④作射线交射线于点．
则就是所求作的直角三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)证明：连接，
∵______
∴点在线段的垂直平分线上（______________________）．（填推理的依据）
同理可证：点在线段的垂直平分线上
根据两点确定一条直线，可知是线段的垂直平分线．
∴．
(3)在中，，如果，猜想：与满足的数量关系_____________，并证明．

8 . 如图，已知，用尺规在边上确定一点，使．下面四种作图中，正确的是（       ）

A．以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求

B．以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求

C．作的垂直平分线交于点，点为所求

D．作的垂直平分线交于点，点为所求

9 . 已知：直线l和直线l外一点P，求作：直线，使于点Q．

作法：
①在直线l上任取点A，以A为圆心，长为半径画弧．
②在直线l上任取点B（不同于A），以B为圆心，长为半径画弧．
③两弧分别交于点P和点M
④连接，与直线l交于点Q，直线即为所求．
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)补全下面证明过程．
证明：连接
∵，
∴A在的垂直平分线上（______）（填推理的依据）
∵______，
∴B在的垂直平分线上，
∴在的垂直平分线，
∴．

10 . 如图，在锐角中，，点D是的中点，交于点E．点O在上，且．

(1)求证：是等边三角形：
(2)猜想三者之间的数量关系，并证明．