1 . 如图，在中，，，，点在的垂直平分线上，是上一动点，沿折叠得到，当是直角三角形时，则的长为______．

2 . 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．

(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．

3 . 如图1，在一个池塘旁有一段笔直小路（B，C为小路两端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：，，米，池塘的平面示意图如图2所示．

(1)在图2中完成尺规作图：
求作：，使得，交于点H．（不写作法，只保留作图痕迹）
(2)求的长．

4 . 如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接，则的最小值为______．

   

5 . 如图，在中，，点为边上一点，连接，将沿折叠，使点A落在射线上的点处，若，，则的面积为______．

6 . 已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形中，是一条对角线，，则点与点关于互为顶针点：若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点．
【初步思考】（1）如图2，在中，，，为外两点，，，为等边三角形．
①点与点______关于互为顶针点；
②求证：点与点关于互为勾股顶针点．
【实践操作】（2）在长方形中，．
①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹）
【思维探究】②如图4，点是线段上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长．

7 . 如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧交，分别于点，，再以点，为圆心长为半径画弧，两弧交于点，作射线，为上一点，为上一动点，连接，，若，则的最小值为（       ）

A．3

B．

C．2

D．

8 . 【模型感知】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

   

（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有        ．
【模型应用】在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．
（2）如图2，当点落在边上时，求证：；
（3）利用备用图研究：点在直线运动过程中，当满足时，的大小．（直接写出结果即可）

9 . 直角三角形的两条直角边为和，斜边长为6，若，则______．

10 . 如图，在菱形中，，，点为直线上方一点，且，分别作点关于直线和直线的对称点，，连接，当与菱形的边平行时，的面积为_________．