1 . 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．

特例探索
（1）①如图1，当，时，______，______；
②如图2，当，时，______，______；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图4，在边长为的菱形中，为对角线，的交点，，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，求的值．

2 . 如图1，在中，，点M、N分别为边的中点，连接．

初步尝试：（1）与的数量关系是__________，与的位置关系是__________．
特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点B顺时针旋转（为锐角），得到，当点A、E、F在同一直线上时，与相交于点D，连接
①求时度数；
②求的长．

3 . 问题背景：如图（1），在和中，，，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，连接，点F是的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；
拓展创新：如图（3），在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若点E是的中点，连接，直接写出的最大值．

4 . 如图1，在中，，，，P为上一动点．

(1)求的长；
(2)若动点P满足，求的值；
(3)如图2，若D为的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点A的对应点为，当时，求的长；
(4)如图3，若E为边上一点，且，连接，将线段绕点E沿逆时针方向旋转得线段，连接，直接写出的最小值．

5 . 如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接、，则的最小值是（       ）

A．

B．

C．

D．10

6 . 如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以的速度沿运动．同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．连接．设点的运动时间为，的面积为．

(1)当点运动到的中点时，求的长度；
(2)当点沿运动，且时，求的值；
(3)求S与之间的函数关系式；
(4)当的边将分成面积比为的两部分时，直接写出的值．

7 . （1）[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，直接写出的长        ．

（2）[迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接．求的长；

（3）[拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，为中点，连接、和，当时，直接写出的长        ．

8 . 如图，在正方形中，点为的中点，连接，点在上，连接交于点，，若，则的长为______．

9 . 如图，在矩形中，点是对角线的中点，点是直线上一点，点是直线上一点，且，连接．

(1)如图1，若点，分别是，的中点，且，，则的长为__________；
(2)如图2，若点在的延长线上，其他条件不变，探究线段，，的数量关系，并给出证明；
(3)如图3，若点在的延长线上，且，，，求线段的值．