1 . 定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________
A．平行四边形            B．矩形          C．菱形；        D．正方形．
性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________
问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结．

（1）试说明．四边形是“中方四边形”；
拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．
（2）若，则_________；
（3）若的最小值是2，则的长度为_________；

2 . 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．已知四边形中，，，是四边形的和谐线，且，则四边形的面积为（       ）

A．

B．或4

C．或4

D．

3 . 如图，平行四边形中，，点F是线段的中点，过点C作交于点G．延长线交于点H，且．

(1)如图1，若，求的值；
(2)如图2，连接，求证：．

5 . 综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形D与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且(不需要说明理由)．

(1)如下图，小明将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为．
①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；

②在旋转过程中，如下图，连接，，，，求四边形面积的最大值．

(2)如下图，分别取，，，的中点M，N，P，Q，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______．

6 . 如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点G．

(1)求证：；
(2)如图2，连接、，点M、N、P、Q分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长．

7 . 【问题探究】
如图，在中，点O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与，的外角的平分线交于点E、F，连接，．

（1）求证：；
（2）如图2，点O是的中点，判断与的数量关系，与的位置关系，并说明理由；
【问题拓展】
（3）在（2）的条件下，若，，，求四边形的周长．

8 . 如图1，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作．

(1)证明：是菱形．
(2)如图2，若，连结、，猜想并证明与的数量关系．
(3)如图3，若，，，是的中点，求的长．

9 . 如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（       ）

A．①②④

B．①③

C．①②③

D．②③④

10 . 问题解决：如图1，在矩形中，点，分别在，上，，于点．

   

（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：
（3）如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长．