1 . 如图，在中，．为上一动点，过作于点，于点，连接，当，时，的最小值为______．

4 . 综合与探究

(1)模型建立：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：；
(2)模型应用：
①如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，求直线的函数解析式；
②如图3，长方形，点为坐标原点，点的坐标为分别在坐标轴上，点是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

5 . 综合与实践卜
数学活动∶在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题．
动手操作：在中，，，，将三角形纸片进行以下操作：
第一步∶如图1，将沿着进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；
第二步∶如图2，隐去，将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，射线与边交于点M，（M不与点A重合），与边交于点N，线段与交于点P．

数学思考：
(1)在图1中，求证∶；
(2)在图2中，绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
(3)在绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图3，当时，________；
②如图4，当经过点B时，________．

6 . 2022版《数学课程标准》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力，目前我们已经具备应用已学知识证明其他结论的能力．请阅读下列材料，完成相应任务．
【方法解析】

求证：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到．

   

（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
【数学思想】
（2）上述证明方法中主要体现的数学思想是________；
A．转化思想       B．类比思想       C．数形结合思想       D．从一般到特殊思想
【知识迁移】
（3）如图3，点是线段上一点，，点是线段上一点，分别连接，点，分别是和的中点，连接．若，，，请求的长．

7 . 如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 实践与探究：
问题情景：数学实践课上，老师让同学们以平行四边形为主题展开数学活动．
如图，中，，，．对角线、相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交直线、于点、．
   
(1)操作发现：当______时，四边形是平行四边形；
(2)思考表达：在旋转的过程中，四边形可能是菱形吗？如果能，求出此时的值；如果不能，说明理由；
(3)拓展延伸：在旋转过程中，是否存在以、、、、、中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，直接写出矩形的对角线的长度；如果不存在，说明理由．

9 . 阅读与思考：
小明同学在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了及时的梳理与总结．阅读小明同学的笔记，并完成相应任务

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：．     分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到E，使得．连接，．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到． 证明：延长到E，使得，连接、，如图2所示：     ∵是斜边上的中线， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形（①依据：__________）

任务：
(1)①依据为：______________
(2)请补小明的全证明过程；
(3)上述证明方法中主要体现的数学思想是______；
A．转化思想       B．类比思想       C．数形结合思想       D．从一般到特殊思想
(4)将和按图3放置，其中，，点A、B、D在一直线上，分别取和的中点F和G，连接GF．若，，，则______．