1 . 太原汾河四期工程北起尖草坪区上兰村汾河漫水桥（中北大学往南约米），南至柴村桥北米处．太原汾河四期的建成，成为市民节假日热门打卡之地．小明和小聪相约游览，他们利用无人机和所学的数学知识对某段河流的宽度进行了测量．如图所示，小明站在河岸处测得无人机的仰角为，小聪站在小明对面河岸处测得无人机的仰角为，已知小明的身高，小聪的身高，无人机距地面的高度为（点，，，，在同一个平面内）．求河流的宽度．（精确到。参考数据：，，）

3 . 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为________．（参考数据：，，）

4 . 小明参加了今年社区组织的义务植树活动，活动结束后，他发现对面斜坡的平台上有一棵与地面垂直的树，他想运用课上学到的相关知识测量这棵树的高度．测量过程如下：如示意图，在点处测得树顶端的仰角为，先沿着斜坡行走13米至坡顶处，再沿水平方向行走3米到达树底点处（点，，，在同一平面内）．已知斜坡的坡比为，则他测得树的高度为___________米．

5 . 阅读与思考
下面是小亮同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

×年×月×日       星期六       晴

利用教学知识求穿衣镜的最小长度

今天我在一本课外读物上看到下面的材料，要想在穿衣镜（平面镜）中看到自己的全身像，穿衣镜的长度至少是身高的一半．我有如下思考：
如图1，已知人竖直站立，穿衣镜竖直放置，此时，为眼睛的位置，是人在穿衣镜中的像，，分别是过，的法线与的交点．
∵和是法线，
∴，．
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
根据平面镜成像原理可知，
在和，，，，
∴．
∴．
……
因此，要想在穿衣镜中看到自己的全身像，穿衣镜上端处和人眼与头项的中点处齐平，此时穿衣镜有最小长度，即身高的一半．

任务：
(1)从小亮的日记中还可以知道，，可以用数学知识______来解释．
A.图形的轴对称       B.图形的旋转       C.图形的位似
(2)请你补全小亮的思考过程．
(3)应用：如图2，现有一面平面镜，竖直挂在墙上，某人身高为，他站在镜子前某处，眼睛只能看到部分身长，若他想看到自己的全身像，则将镜子下移的距离至少为______．

8 . 综合与实践
问题情境：
已知正方形，点是边上一点，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，连接，．

猜想证明：
（1）当时，如图（1），
①连接，，，求证：四边形是矩形；
②试猜想线段，之间的数量关系，并说明理由．
解决问题：
（2）当时，
①______________（用含的式子表示）；
②当，且点在的延长线上时，如图（2），若，求的长．