1 . 综合与实践
【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作探究：
操作过程及内容如下（如图①）．
操作1：将正方形对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形展开，得到折痕；
操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点P．则P即为的三等分点，即．
【解决问题】
（1）在图①中，若与交于点Q，连接．求证：四边形是菱形．
（2）请在图①中证明．
【发现感悟】若E为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：
（3）如图②，若，则       ．

2 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在中，，点为直线上一动点（点不与、重合），以为边在右侧作正方形，连接．

(1)观察猜想：如图1，当点在线段上时，
①与的位置关系为：______；（将结论直接写在横线上）
②，，之间的数量关系为：______．（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图3，当点在线段的延长线上时，延长交于点，连接．若已知，，则______．（将结论直接写在横线上）

3 . （1）发现问题：

如图（1），在正方形中，若点，分别是边，边上的动点（均不与端点重合），且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，发现，请你给出证明过程；
（2）类比探究：
如图（2），在正方形中，若点，分别是边，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．
（3）拓展应用：
在（1）中，若正方形的边长为6，，求的长．

4 . 如图，是正方形的对角线上两点，．连接．
   
(1)判断四边形的形状，并证明．
(2)若，求四边形的周长．

5 . 正方形中，点是对角线的中点，点是所在直线上的一个动点，于，于．

(1)当点与点重合时如图，猜测与的数量及位置关系，并证明你的结论；
(2)当点在线段上不与点、、重合时如图，探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当点在的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

7 . 已知:正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE:AE:CE= ，求∠AED的度数；
（3）若BC = 4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时(如图2)，若OF =，求CN的长．

8 . 如图：在正方形中，点在上，延长到使，连接、、．

(1)求证：；
(2)如果，，求的长．

9 . 如图，在正方形中，点E是上的一点，点F是延长线上的一点，且，连接．

   

(1)求证：；
(2)若，，请求出的长．

10 . 已知：E，F是正方形的对角线上的两点，且，求证：四边形是菱形．