1 . （1）发现问题：

如图（1），在正方形中，若点，分别是边，边上的动点（均不与端点重合），且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，发现，请你给出证明过程；
（2）类比探究：
如图（2），在正方形中，若点，分别是边，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．
（3）拓展应用：
在（1）中，若正方形的边长为6，，求的长．

2 . 同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为________；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．

3 . 如图：在正方形中，点在上，延长到使，连接、、．

(1)求证：；
(2)如果，，求的长．

4 . 如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为______

5 . 如图，已知正方形的对角线相交于点O，E是上一点，连结，过点A作，垂足为M，交于点F．
   
(1)试说明；
(2)如图2，若点E在的延长线上，于点M，交的延长线于点F，其它条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由．

6 . 如图，在正方形中，点E是上的一点，点F是延长线上的一点，且，连接．

   

(1)求证：；
(2)若，，请求出的长．

7 . 已知：E，F是正方形的对角线上的两点，且，求证：四边形是菱形．

   

8 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
   　　 　　
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，连接；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接．
根据以上操作，请判断图1中是什么特殊三角形？答：＿＿＿＿．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点M在上时，______，______；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

9 . 如图，是正方形的对角线上两点，．连接．
   
(1)判断四边形的形状，并证明．
(2)若，求四边形的周长．

10 . 正方形中，点是对角线的中点，点是所在直线上的一个动点，于，于．

(1)当点与点重合时如图，猜测与的数量及位置关系，并证明你的结论；
(2)当点在线段上不与点、、重合时如图，探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当点在的长延长线上时，请将图补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．