1 . 如图1，正方形
中，点P在
边上，连接
，点M在
边上，连接
，且
；
；
(2)如图2，延长
到点Q，使
，作
，且
，连接
，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接
交
于点E，若点E是中点，
，求
的长.
中，点P在边上，连接，点M在边上，连接，且；
；(2)如图2，延长
到点Q，使，作，且，连接，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接
交于点E，若点E是中点，，求的长.
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2024九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习
2 . 问题背景：如图1，在正方形中，边长为4．点M，N是边
上两点，且
，连接，
，与相交于点．与的数量关系和位置关系，并证明；
(2)拓展提高：如图2，延长至P，连接，若
，求线段
的长．
中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接，，与相交于点．
与的数量关系和位置关系，并证明；(2)拓展提高：如图2，延长
至P，连接，若，求线段的长．
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3 . 如图，点P是正方形对角线
上一动点，点E在射线
上，且
，连接，O为中点．
上时，试猜想线段
与线段的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当点P在线段
上时，直接写出线段和线段之间的数量关系；
(3)如图3，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时
，连接
，猜想线段
与线段的数量关系，并说明理由．
对角线上一动点，点E在射线上，且，连接，O为中点．
上时，试猜想线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，当点P在线段
上时，直接写出线段和线段之间的数量关系；(3)如图3，把正方形
改为菱形，其他条件不变，当时，连接，猜想线段与线段的数量关系，并说明理由．
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名校
4 . 在正方形中，点M在上，点N在
的延长线上，且
，连接
，设
交于点E．
的度数；
(2)如图2，点F为上一点，连接
交于点G，且
，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点M作
交于点H，若
，且
，求正方形的边长．
中，点M在上，点N在的延长线上，且，连接，设交于点E．
的度数；(2)如图2，点F为
上一点，连接交于点G，且，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，过点M作
交于点H，若，且，求正方形的边长．
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5 . 已知，四边形为正方形，点
在边上，点
在边上，连接
，过点作的垂线，交于点
，垂足为
．
；
(2)如图2，连接
，若点在上，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，若
，求正方形的面积．
为正方形，点在边上，点在边上，连接，过点作的垂线，交于点，垂足为．
；(2)如图2，连接
，若点在上，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，若，求正方形的面积．
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6 . 如图，在正方形中，连接对角线，点E和点G是边、的中点，连接交于点F，连接
，若
，则的长为________ ．
中，连接对角线，点E和点G是边、的中点，连接交于点F，连接，若，则的长为
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7 . 图①、图②是两张大小、形状完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求：为边画菱形，点C、D在小正方形顶点上，且菱形的面积为3；
(2)在图②中以为边画正方形
，点E、F在小正方形的顶点上；
(3)请直接写出图②中正方形的面积为______．
为边画菱形，点C、D在小正方形顶点上，且菱形的面积为3；(2)在图②中以
为边画正方形，点E、F在小正方形的顶点上；(3)请直接写出图②中正方形
的面积为______．
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8 . 综合与实践
正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形
，连接
；
[初步探究]
（1）如图1，当点P在线段上时，
与的数量关系是________；与的位置关系为________；，
，三者的数量关系为
．
[探索发现]
（2）当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由．
[拓展延伸]
（3）如图③，连接AE，若
，
，则
的长为________．
正方形
中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接；[初步探究]
（1）如图1，当点P在线段
上时，与的数量关系是________；与的位置关系为________；，，三者的数量关系为．[探索发现]
（2）当点P在线段
延长线上运动时，如图2，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由．[拓展延伸]
（3）如图③，连接AE，若
，，则的长为________．
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9 . 如图①正方形中，M是中点，E是延长线上一点，
交
的平分线于N，在
上截取
，
，连结
，易证
上任意一点时的结论是什么？
(2)如图③当点M在的延长线上时，其他条件不变结论又是什么？
中，M是中点，E是延长线上一点，交的平分线于N，在上截取，，连结，易证
上任意一点时的结论是什么？(2)如图③当点M在
的延长线上时，其他条件不变结论又是什么？
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10 . 已知正方形
中，点E是射线
上一点，连接
，作的垂直平分线交直线
于点M，交直线
于点N，交于点F．上时，在上取一点H，连接
，
，使得
．
①如图1，求
的度数；
②如图2，若
，
，求正方形边的长；
(2)如图3，当点E在的延长线上时，连接
并延长交
的延长线于点P，连接
．
①根据题意补全图形；
②直接写出
的度数__________；
③用等式表示线段
，
，
之间的数量关系，并证明你的结论．
中，点E是射线上一点，连接，作的垂直平分线交直线于点M，交直线于点N，交于点F．
上时，在上取一点H，连接，，使得．①如图1，求
的度数；②如图2，若
，，求正方形边的长；(2)如图3，当点E在
的延长线上时，连接并延长交的延长线于点P，连接．①根据题意补全图形；
②直接写出
的度数__________；③用等式表示线段
，，之间的数量关系，并证明你的结论．
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