2 . 【模型提出】如图，已知线段的长度为，在线段所在直线外有一点，且，想确定满足条件的点的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点为圆心，长为半径画圆，则点在的优弧上.即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.
【模型应用】如图，在正方形中，，点分别是边、上的动点，，连结、，与交于点.

   

(1)求证：；
(2)点从点到点的运动过程中，点经过的路径长为______；
(3)若点是的内心，连结，则线段的最小值为______.

5 . 【实践操作】
操作一：如图①，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕．
操作二：如图②，将正方形纸片的左上角沿折叠，得到点B的对应点为，交于点E．
操作三：如图③，将正方形纸片的右上角沿折叠再展开，折痕交于点M．

【问题解决】
（1）求证．
（2）______·
【拓展应用】
（3）在图③中延长交于点N，则______．

8 . 下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．

【作业】如图①，已知正方形中，分别是、边上的点，且．求证：．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到，则．
四边形是正方形，，
．
．
又，点在一条直线上．
＿＿＿，＿＿＿．
【探究】（1）在图①中，若正方形的边长为，，其他条件不变，求的长．
解：正方形的边长为，．
设，则．
在中，由，解得＿＿＿，即＿＿＿．
（2）如图②，在四边形中，，是边上的点，且，则＿＿＿．
（3）如图③，在中，，为边上的高．若，则的长为＿＿＿．

9 . 【感知】如图①，在正方形内部作等边三角形，连结、，则的大小为________度．
【迁移】小明遇到这样一个问题：如图，在中，，，点D是内的一点，且，，求证：．
小明发现，将图②通过做辅助线，变化成和图①类似，就可以求出，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：过点B作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，连结．
∵，，∴四边形是平行四边形．
∵，，∴四边形是正方形．
∵，∴．
∵四边形是正方形，∴，
∴，即．
∵，，∴．
∴．
请你补全余下的证明过程．
【拓展】如图③，在中，，，，于点E，交于点F，则的长为________．