1 . 【模型提出】如图，已知线段的长度为，在线段所在直线外有一点，且，想确定满足条件的点的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点为圆心，长为半径画圆，则点在的优弧上.即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.
【模型应用】如图，在正方形中，，点分别是边、上的动点，，连接、，与交于点.

   

(1)求证：；
(2)点从点到点的运动过程中，点经过的路径长为______；
(3)若点是的内心，连接，则线段的最小值为______.

3 . 下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．

【作业】如图①，已知正方形中，分别是、边上的点，且．求证：．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到，则．
四边形是正方形，，
．
．
又，点在一条直线上．
＿＿＿，＿＿＿．
【探究】（1）在图①中，若正方形的边长为，，其他条件不变，求的长．
解：正方形的边长为，．
设，则．
在中，由，解得＿＿＿，即＿＿＿．
（2）如图②，在四边形中，，是边上的点，且，则＿＿＿．
（3）如图③，在中，，为边上的高．若，则的长为＿＿＿．

4 . 【感知】如图①，在正方形内部作等边三角形，连结、，则的大小为________度．
【迁移】小明遇到这样一个问题：如图，在中，，，点D是内的一点，且，，求证：．
小明发现，将图②通过做辅助线，变化成和图①类似，就可以求出，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：过点B作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，连结．
∵，，∴四边形是平行四边形．
∵，，∴四边形是正方形．
∵，∴．
∵四边形是正方形，∴，
∴，即．
∵，，∴．
∴．
请你补全余下的证明过程．
【拓展】如图③，在中，，，，于点E，交于点F，则的长为________．

5 . 如图，在正方形中，动点从点出发，沿运动到点停止．过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连结，直线与交于点．设为，且．

(1)当时，        ，        ；
(2)当点在上时，
①求的值；
②当为轴对称图形时，求的大小；
(3)若正方形的面积为，直接写出面积的最大值．

6 . 在平面直角坐标系中，设抛物线（为常数）的顶点为．
(1)顶点的坐标为________；（用含的代数式表示）
(2)当时，求此抛物线的解析式；
(3)若当时，函数的最小值为1，求的值；
(4)连接，以为边作正方形，当此抛物线经过正方形的顶点时，直接写出的值．

9 . 【实践操作】如图①，在矩形纸片中，，E为边上一点，把沿着折叠得到，作射线交射线于点F．
（1）当时， _______；
（2）当时，求的长；
【问题解决】如图②，在正方形纸片中，取边的中点E，，将沿着折叠得到，作射线交边于点G，点F为边中点，P是边上一动点，将沿着折叠得到，当点落在线段上时， ___________．