3 . 如图，为等边三角形的外接圆，半径为4，点D在劣弧上运动（不与点A、B重合），连接．

(1)求的长；
(2)求证：是的平分线；
(3)当时，求的长；
(4)若点M、N分别在线段上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，则所有t值中的最大值为______．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，以为直径作．给出下面四个结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②的面积为；
③抛物线上存在点E，使四边形为平行四边形；
④直线与相切．

上述结论中，所有正确结论的序号是______．

6 . 在平面直角坐标系中，点A在抛物线上，其横坐标为m，点 B的坐标为，过点 B作垂直该抛物线的对称轴于点 M，点C为该抛物线的顶点．
(1)求点C的坐标：
(2)当点A落在直线上时， 求的长；
(3)连结并延长交抛物线对称轴于点 D，以为邻边作．
①当是菱形时， 求m的值；
②过的顶点 N作 于点 E，若 与 周长差为时，直接写出所有满足条件的m的值．

9 . 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b为常数）经过点．点P在抛物线上，且横坐标为m，点Q的坐标为，连接、．
(1)求该抛物线对应的函数表达式．
(2)连接，当轴时，求m的值．
(3)以线段、为邻边构造，
①边的长的最小值为________，此时的面积为________．
②当，且抛物线在的内部（不含的边界）的部分的y值随x的增大而增大或随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

10 . 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接．
1°当点在直线外时，

证明过程缺失

2°当点在直线上时，
易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接．
（1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________．
（2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________．