1 . 综合与实践：
【问题发现】
（1）如图1，在正方形
中，点
，
分别在
，
上且
于点
，则可得
与
的数量关系为__________；
【类比探究】
（2）①如图2，在正方形中，点
，
，，分别在边
，
，，
上，且
于点．试猜想线段
与
的数量关系，并说明理由；
②如图3，在矩形中，
，
，点，，，分别在边，，，上，连接，，且于点，试写出线段与的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在四边形中，
，
，点
，
分别在边，上，连接
，
，且
于点．已知
，
，若点为的三等分点，求出线段的长．
【问题发现】
（1）如图1，在正方形
中，点，分别在，上且于点，则可得与的数量关系为__________；【类比探究】
（2）①如图2，在正方形
中，点，，，分别在边，，，上，且于点．试猜想线段与的数量关系，并说明理由；②如图3，在矩形
中，，，点，，，分别在边，，，上，连接，，且于点，试写出线段与的数量关系，并说明理由；（3）【拓展应用】如图4，在四边形
中，，，点，分别在边，上，连接，，且于点．已知，，若点为的三等分点，求出线段的长．
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2 . （1）模型建立：如图1，等腰
中，
，直线
经过点C，过点A作
于点D，过点B作
于点E． 求证：
；
（2）模型应用：
①如图2，已知直线
与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转
，得到线段、过点A，C作直线，求直线
的函数解析式：
②如图3，长方形
，点O为坐标原点，点B的坐标为
，A，C分别在坐标轴上，点P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线
上的一点，若
是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E． 求证：；（2）模型应用：
①如图2，已知直线
与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段、过点A，C作直线，求直线的函数解析式：②如图3，长方形
，点O为坐标原点，点B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，点P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
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7日内更新
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80次组卷
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2卷引用：宁夏回族自治区中卫市第二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
3 . 如图1．在
中，D、E分别为
的中点，连接
：
（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理，
．
【结论应用】
（2）如图2，四边形中，对角线
相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接
，得到四边形
．为平行四边形；
②当与
满足 时，四边形是矩形，当与满足 时，四边形是菱形.
③若
，
，
，求四边形的面积．
【问题解决】
（3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且
，
，
，求小路
的长度．
中，D、E分别为的中点，连接：操作1．将 绕点E按顺时针方向旋转 到 的位置．操作2．延长 到点F，使 ，连接 ．试探究 与有怎样的位置关系和数量关系？ |
|
．
【结论应用】
（2）如图2，四边形
中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．
为平行四边形；②当
与满足 时，四边形是矩形，当与满足 时，四边形是菱形.③若
，，，求四边形的面积．【问题解决】
（3）如图3所示，在一个四边形
的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．
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4 . 综合与实践
性质探究：如图（1），在等腰三角形
中，则底边与腰的长度之比为
，则
．
理解运用：
（1）若等腰三角形底边与腰的比为，周长为
，则它的面积为________；
（2）如图（2），在四边形中，
．在边
，
上分别取中点，，连接
，若
，
，求
的度数．
迁移拓展：
（3）如图（3），点
将线段分成两部分，较长线段为，如果
，这个比值叫黄金比，称点为线段的黄金分割点．在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位
，较长线段的长为
，利用定义即可求出黄金比．
进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比，②腰与底的比是黄金比，满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为
，请你利用所学知识，选择其中一种画出图形，求
的值．
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5 . 在中，
，
．
（1）如图1，点D为边上一点，过D作
于E点，连接，F为的中点，连接
，，
，则
的形状是 ；
【问题探究】
（2）如图2，将图1中的
绕点B按逆时针方向旋转，使点D落在边上，F为AD的中点，试判断的形状并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，若
，
，将绕点B按逆时针方向旋转，当点D在线段
上时，直接写出线段的长 （用含m的式子表示）．
中，，．
（1）如图1，点D为边
上一点，过D作于E点，连接，F为的中点，连接，，，则的形状是 ；【问题探究】
（2）如图2，将图1中的
绕点B按逆时针方向旋转，使点D落在边上，F为AD的中点，试判断的形状并说明理由；【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，若
，，将绕点B按逆时针方向旋转，当点D在线段上时，直接写出线段的长 （用含m的式子表示）．
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2024-06-05更新
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252次组卷
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3卷引用：2024年宁夏中卫市部分学校中考数学模拟试题
6 . 如图，抛物线
与轴交于
两点，与
轴交于点C．已知点
的坐标是
，抛物线的对称轴是直线
．
(2)第一象限内的抛物线上有一动点
，使
的面积最大，求点的坐标和面积的最大值；
(3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使
是等腰三角形，求点的坐标．
与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
(2)第一象限内的抛物线上有一动点
，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值；(3)对称轴与
轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标．
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7 . 动手操作
利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．
如图1，将等腰直角三角形的边绕点B顺时针旋转得到线段
，，
，连接
，过点
做
交CB延长线于点H．
（1）在图1中：易知
，则
；
如图2，若为任意直角三角形，、、、分别用a、b、c表示．边绕点B顺时针旋转，得到，过点作
，交BC延长线于点
．
（2）在图2中：
的面积为 ；
拓展延伸
（3）如图3，在中，
，
，
，
，
，连接．
①求的面积；
②在中，在BC边的高上找一点D，使
的值最小，求AD的长和的最小值．
利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．
如图1，将等腰直角三角形
的边绕点B顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交CB延长线于点H．（1）在图1中：易知
，则 ；
如图2，若
为任意直角三角形，、、、分别用a、b、c表示．边绕点B顺时针旋转，得到，过点作，交BC延长线于点．（2）在图2中：
的面积为 ；拓展延伸
（3）如图3，在
中，，，，，，连接．①求
的面积；②在
中，在BC边的高上找一点D，使的值最小，求AD的长和的最小值．
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8 . 如图，在中，
．点P由点B出发沿
方向向终点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿方向向终点C匀速运动，它们的速度均为
，当其中一点到达终点时，两点均停止运动．以
为边作平行四边形
，连接
交于点E．设运动时间为t（单位：s）．解答下列问题：
；当
时，
(2)当t为何值时，平行四边形为矩形？
(3)是否存在某一时刻t，使四边形
的面积S最小？若存在，请求出t的值及最小面积；若不存在，请说明理由．
中，．点P由点B出发沿方向向终点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿方向向终点C匀速运动，它们的速度均为，当其中一点到达终点时，两点均停止运动．以为边作平行四边形，连接交于点E．设运动时间为t（单位：s）．解答下列问题：
；当 时， (2)当t为何值时，平行四边形
为矩形？(3)是否存在某一时刻t，使四边形
的面积S最小？若存在，请求出t的值及最小面积；若不存在，请说明理由．
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9 . 如图，在中，点
在边上，以为直径的
与直线相切于点，连接
，且
，连接交于点．
；
(2)若
，求
的值．
中，点在边上，以为直径的与直线相切于点，连接，且，连接交于点．
；(2)若
，求的值．
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10 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与轴交于，
点，与轴交于点
，点的坐标为
，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方.
(2)当点运动到什么位置时，
的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值.
(3)除原点外，在轴上是否存在一点
，使得
为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方.
(2)当点
运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值.(3)除原点外，在
轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
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